第19课时 锐角三角函数及解直角三角形

第19课时锐角三角函数及解直角三角形第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形考点聚焦归类示例考点聚焦回归教材中考预测考点1锐角三角函数的定义如图27－1，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦sinA=∠A的对边斜边sinA＝ac0＜sinA＜1(∠A为锐角)余弦cosA=∠A的邻边斜边cosA＝bc0＜cosA＜1(∠A为锐角)sinA＝cosBcosA＝sinBsin2A＋cos2A＝1正切tanA=∠A的对边∠A的邻边tanA＝abtanA＞0(∠A为锐角)tanA＝1tanB(tanA·tanB＝1)图27－1第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形考点2互为余角的正弦与余弦的关系设α是锐角，则sinα＝cos(90°－α)；cosα＝sin(90°－α)．考点聚焦归类示例回归教材中考预测第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形考点3特殊角的三角函数值α30°45°60°sinαcosαtanα1222323222123331考点聚焦归类示例回归教材中考预测第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形考点4特殊角的三角函数值解直角三角形的定义：在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即三条边与两个锐角．由已知边和角(两个，其中必有一边)求其他所有未知的边和角的过程叫作解直角三角形．在Rt△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°.依据：①边的关系：勾股定理：____________；②角的关系：两个锐角互余：∠A＋∠B＝90°；③边角关系：三角函数的定义：sinA＝________，cosA＝________，tanA＝________．防错提醒：尽量避免使用中间数据和除法．a2＋b2＝c2acbcab考点聚焦归类示例回归教材中考预测►类型之一求三角函数值归类示例第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形命题角度：1.正弦值的计算；2.余弦值的计算；3.正切值的计算．考点聚焦归类示例回归教材中考预测第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形[2013·宿迁]如图27－2，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是()图27－2A.23B.32C.21313D.31313B解析由图结合正切函数定义可得tan∠AOB＝32.考点聚焦归类示例回归教材中考预测第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形，确定直角三角形的边长，依据三角函数的定义进行求解．考点聚焦归类示例回归教材中考预测►类型之二特殊锐角的三角函数值的应用第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形命题角度：1.30°、45°、60°角的三角函数值；2.已知特殊三角函数值，求角度．[2013·邵阳]在△ABC中，若sinA－12＋cosB－122＝0，则∠C的度数是()A．30°B．45°C．60°D．90°D考点聚焦归类示例回归教材中考预测第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形解析依题意：sinA－12＝0，cosB－12＝0.∴∠A＝30°，∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°.考点聚焦归类示例回归教材中考预测►类型之三解直角三角形第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形命题角度：1.利用三角函数解直角三角形；2.将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形．[2013·常德]如图27－3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1.(1)求BC的长；(2)求tan∠DAE的值．图27－3考点聚焦归类示例回归教材中考预测第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形解(1)在△ABC中，AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ADC中，∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1.在△ADB中，∠ADB＝90°，sinB＝13，AD＝1，∴AB＝ADsinB＝3，∴BD＝AB2－AD2＝22，∴BC＝BD＋DC＝22＋1.(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE＝12BC＝2＋12，∴DE＝CE－CD＝2－12，∴tan∠DAE＝DEAD＝2－12.考点聚焦归类示例回归教材中考预测第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形是解直角三角形常用的方法．考点聚焦归类示例回归教材中考预测教材母题同一锐角的正弦与余弦之间的关系第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形设α是任一锐角，求证：sin2α＋cos2α＝1.证明如图27－4，设在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α.根据锐角三角函数定义：sinα＝BCAB，cosα＝ACAB，∴sin2α＋cos2α＝BCAB2＋ACAB2＝BC2＋AC2AB2.由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，∴sin2α＋cos2α＝AB2AB2＝1，即sin2α＋cos2α＝1.图27－4考点聚焦归类示例回归教材中考预测回归教材第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形点析由已知α是任一锐角，启示我们构造直角三角形，将锐角α作为直角三角形的内角，再根据锐角三角函数的定义，结合勾股定理进行证明．考点聚焦归类示例回归教材中考预测第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°＝12，cos30°＝32，则sin230°＋cos230°＝________；①sin45°＝22，cos45°＝22，则sin245°＋cos245°＝________；②sin60°＝32，cos60°＝12，则sin260°＋cos260°＝________．③…考点聚焦归类示例回归教材中考预测中考预测第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝________．④(1)如图27－5，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；(2)已知∠A为锐角(cosA＞0)且sinA＝35，求cosA.图27－5考点聚焦归类示例回归教材中考预测第27课时┃锐角三角函数及解直角三角形解1111(1)如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB＝90°.∵sinA＝BDAB，cosA＝ADAB，∴sin2A＋cos2A＝BDAB2＋ADAB2＝BD2＋AD2AB2.∵∠ADB＝90°，∴BD2＋AD2＝AB2，∴sin2A＋cos2A＝1.(2)∵sinA＝35，sin2A＋cos2A＝1，∠A为锐角，∴cosA＝1－352＝45.考点聚焦归类示例回归教材中考预测