2018-2019学年上海市浦东新区高二(下)期中数学试卷

第1页（共13页）2018-2019学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）已知O（0，0）、A（1，1），则直线OA的倾斜角为2．（3分）经过点P（1，0），且与y轴平行的直线方程为3．（3分）抛物线y2＝4x的准线方程为．4．（3分）圆心为C（1，1），半径为1的圆的方程是5．（3分）两直线l1：x﹣y＝0，l2：x+y﹣1＝0的夹角为6．（3分）直线x+y﹣1＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长等于．7．（3分）如果椭圆的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍，则此椭圆的标准方程为8．（3分）若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是9．（3分）若椭圆的左焦点在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，则p的值为10．（3分）以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为．11．（3分）已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝．12．（3分）已知平面上有两定点A、B，该平面上一动点P与两定点A、B的连线的斜率乘积等于常数m（m∈R），则动点P的轨迹可能是下面哪种曲线：①直线；②圆；③抛物线；④双曲线；⑤椭圆（将所有可能的情况用序号都写出来）二.选择题13．（3分）直线3x+2y+m＝0与直线2x+3y﹣1＝0的位置关系是（）第2页（共13页）A．相交B．平行C．重合D．由m决定14．（3分）经过点P（4，﹣2）的抛物线的标准方程是（）A．y2＝x或x2＝yB．y2＝x或x2＝8yC．x2＝y或y2＝﹣8xD．y2＝x或y2＝﹣8x15．（3分）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（）A．1B．﹣1C．±1D．不确定16．（3分）已知点M（﹣1，0），N（1，0），若直线上存在点P，使得|PM|+|PN|＝4，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：①y＝x+3；②x＝﹣2；③y＝2；④y＝2x+1，其中为“A类直线”的是（）A．①③B．②④C．②③D．③④三.解答题17．求曲线x2+y2＝1与直线y＝x+1的交点坐标．18．已知双曲线的一个焦点为（5，0），其渐近线方程为，求此双曲线的标准方程．19．已知抛物线y2＝4x与椭圆有公共焦点F1，椭圆的另一个焦点为F2，P是这两曲线的一个交点，求△PF1F2的面积．20．求过定点P（0，1）且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．21．已知曲线M上的动点P（x，y）到定点F（1，0）距离是它到定直线l：x＝4距离的一半．（1）求曲线M的方程；（2）设过点F（1，0）且倾斜角为的直线与曲线M相交与A、B两点，在定直线l上是否存在点C，使得AC⊥BC，若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．一.选作题，选择题22．（3分）以下四个命题：①满足的复数只有±1，±i；②若a、b是两个相等的实数，则（a﹣b）（a+b）i是纯虚数；③；④复数z∈R的充要条件是；第3页（共13页）其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个23．（3分）已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c则a∥c；②若a∥b，b⊥c则a⊥c；③若a∥β，b⊂β，则a∥b；④若a与b异面，且a∥β则b与β相交；其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4二.解答题24．已知关于x的方程x2+4x+m＝0（m∈R）的两个根为α、β，且|α﹣β|＝2，求m的值．25．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA＝AD＝2，E、F分别是线段PA、CD的中点．（1）求EF与平面ABCD所成的角；（2）求异面直线EF与BD所成的角．第4页（共13页）2018-2019学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，再写出它的倾斜角．【解答】解：点O（0，0）、A（1，1），则直线OA的斜率为k＝，所以直线OA的倾斜角为．故答案为：．【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角的计算问题，是基础题．2．【分析】与y轴平行的直线方程斜率不存在，直线方程为x＝x0．【解答】解：过点P（1，0），且与y轴平行的直线方程为x＝1．故答案为：x＝1．【点评】本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题．3．【分析】直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．【解答】解：y2＝4x的准线方程为：x＝﹣1．故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．4．【分析】利用圆的标准方程，求解即可．【解答】解：圆心为C（1，1），半径为1的圆的方程是：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是基本知识的考查．5．【分析】设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则k1＝﹣＝1，k2＝﹣＝﹣1，所以k1•k2＝﹣1，所以夹角为．【解答】解：依题意，设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则k1＝﹣＝1，k2＝﹣＝﹣1，所以k1•k2＝﹣1，第5页（共13页）所以直线l1：x﹣y＝0，l2：x+y﹣1＝0的夹角为．故填：．【点评】本题考查了直线与直线的位置关系、直线斜率的求法．属于基础题．6．【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+y﹣1＝0的距离d，即可求出弦长．【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心O（0，0），半径等于1，圆心到直线x+y﹣1＝0的距离d＝，故直线x+y﹣1＝0被圆x2+y2＝1所截得的弦长为2＝．故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，正确运用圆的性质是关键，是基础题．7．【分析】由椭圆的焦点坐标分析可得该椭圆的焦点在x轴上，且c＝，分析有a＝b，解可得a2、b2的值，将其代入椭圆的标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的一个焦点坐标为，c＝，则其焦点在x轴上，又由长轴长是短轴长的倍，即2a＝（2b），即a＝b，则有a2﹣b2＝2b2＝c2＝2，解可得a2＝3，b2＝1，则椭圆的标准方程为：；故答案为：．【点评】本题考查椭圆的标准方程，解题时注意椭圆标准方程的形式．8．【分析】由题意得出两分母的符号，从而得出m的范围．【解答】解：∵方程表示焦点在x轴上的双曲线，∴，解得m＞1．故答案为：（1，+∞）．第6页（共13页）【点评】本题考查了双曲线的解得性质以及双曲线方程的应用，属于基础题．9．【分析】求出椭圆的左焦点的坐标，结合抛物线的准线方程，列出方程，然后求解p即可．【解答】解：椭圆的左焦点（﹣3，0），椭圆的左焦点在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，可得＝3，解得p＝6．故答案为：6．【点评】本题考查椭圆的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10．【分析】确定双曲线的焦点、顶点坐标，可得椭圆的顶点、焦点坐标，由此可求椭圆的方程．【解答】解：C：的焦点为（±3，0），顶点为（±2，0）∴椭圆的顶点为（±3，0），焦点为（±2，0）∴b2＝a2﹣c2＝5∴椭圆的方程为故答案为：【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．11．【分析】抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．已知|AF|＝2，则到准线的距离也为2，根据图形AFKA1是正方形．则易得AB⊥x轴，即可得答案．【解答】解：由抛物线的定义．抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．已知|AF|＝2，则到准线的距离也为2．根据图形AFKA1，是正方形．可知|AF|＝|AA1|＝|KF|＝2∴AB⊥x轴故|AF|＝|BF|＝2．故填|BF|＝2．【点评】活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法．到焦点的距离，叫焦半径．到第7页（共13页）焦点的距离常转化到准线的距离求解．12．【分析】设|AB|＝2a（a＞0），以AB所在直线为x轴，以AB得垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（﹣a，0），B（a，0），设P的坐标为（x，y）（x≠±a），由题意，，即y2＝mx2﹣ma2．然后对m分类分析得答案．【解答】解：设|AB|＝2a（a＞0），以AB所在直线为x轴，以AB得垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（﹣a，0），B（a，0），设P的坐标为（x，y）（x≠±a），则kPA＝，，由题意，，即y2＝mx2﹣ma2．当m＝0时，方程化为y＝0，表示直线；当m＝﹣1时，方程化为x2+y2＝a2，表示圆；当m＞0时，方程化为，表示双曲线；当m＜0且m≠﹣1时，方程化为，表示椭圆．∴动点P的轨迹可能是：：①直线；②圆；④双曲线；⑤椭圆．故答案为：①②④⑤．【点评】本题考查圆锥曲线的轨迹问题，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．二.选择题13．【分析】根据直线的斜率的关系即可求出．【解答】解：直线3x+2y+m＝0与直线2x+3y﹣1＝0斜率分别为﹣和﹣，既不相等，且乘积也不为﹣1，故直线3x+2y+m＝0与直线2x+3y﹣1＝0的位置关系是相交，故选：A．【点评】本题考查了直线与直线的位置关系，属于基础题．14．【分析】由于点P（4，﹣2）在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上．故可设抛物线的标准方程为y2＝2px，或x2＝﹣2my，把点P（4，﹣2）代入方程可得p值，即得抛物线方程．第8页（共13页）【解答】解：由于点P（4，﹣2）在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上．故可设抛物线的标准方程为y2＝2px，或x2＝﹣2my，把点P（4，﹣2）代入方程可得p＝，或m＝4，故抛物线的标准方程y2＝x或x2＝﹣8y，故选：D．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，设抛物线的标准方程为y2＝2px，或x2＝﹣2my，是解题的关键．15．【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．【解答】解：椭圆得∴c1＝，∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），双曲线：有则半焦距c2＝∴则实数m＝±1故选：C．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，主要考查了椭圆双曲线的标准方程．在求曲线方程的问题中，巧识方程，解题时要充分注意．16．【分析】由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是＝1，把直线方程分别代入椭圆方程看是否有解即可判断出结论．【解答】解：由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是＝1，①把y＝x+3代入椭圆方程并整理得，7x2+24x+24＝0，∵△＜0，∴y＝x+3不是“A型直线”．第9页（共13页）②把x＝﹣2代入椭圆方程，成立，∴x＝﹣2是“A型直线”．③把y＝2代入椭圆方程，不成立，∴y＝2不是“A型直线”．④把y＝2x+1代入椭圆方程并整理得，19x2﹣48x+24＝0，∵△＝（﹣48）2﹣4×19×24＞0，∴y＝﹣2x+3是“A型直线”．故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三.解答题17．【分析】根据题意，联立曲线与直线的方程，变形可得x2+x＝0，解可得x的值，代入曲线方程可得y的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，由，得x2+（x+1）2＝1，整理得：x2+x＝0，解得；x＝﹣1或x＝0，所以，由y＝x+1得，y＝0或y＝1；即曲线x2+y2＝1与直线y＝x+1的交点坐标为（﹣1，0）或（0，1）．【点评】本题考查曲线与方程的关系，直接联立曲线与直线的方程即可，属于基础题．18．【分析】设出双曲线方程，利用渐近线方程，推出a，b的方程，然后利用离心率，转化求解a，b即可得到双曲线方程．【解答】解：由已知可设双曲线的标准方程为，则其渐近线方程为，由已知渐近线方程为，所以，…………………（4分）又因为双曲线的一个焦点为（5，0），所以，a2+b2＝52…………………（6分）由…………………（10分）故所求双曲线的标准方程为．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的标准方程的求法，考查计算能力．19．【分析】求出抛物线的焦点