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2.函数与导数1.函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，“每元有象，且象唯一”只能一对一或者多对一，不能一对多.[回扣问题1]若A＝{1，2，3}，B＝{4，1}，则从A到B的函数共有________个；其中以B为值域的函数共有______个.答案862.求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.若f(x)定义域为[a，b]，复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a，b]，则f(x)定义域相当于x∈[a，b]时g(x)的值域.[回扣问题2]已知f(x)＝－x2＋10x－9，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为________.答案[1，3]3.求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等.[回扣问题3]已知f(x)－4f(1x)＝－15x，则f(x)＝________.答案x＋4x4.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.[回扣问题4]已知函数f(x)＝2x3，x＜0－tanx，0≤x＜π2，则f(f(π4))＝________.答案－25.函数的奇偶性f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；定义域含0的奇函数满足f(0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，再找f(x)与f(－x)的关系.[回扣问题5]函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)＋1，求f(x)的解析式.答案f(x)＝x（1＋x）＋1，x＞00，x＝0－x2＋x－1，x＜06.函数的周期性由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a＞0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：①函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期为2a的周期函数；②若f(x＋a)＝1f（x）(a≠0)成立，则T＝2a；③若f(x＋a)＝－1f（x）(a≠0)恒成立，则T＝2a.[回扣问题6]设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(47.5)等于______.答案－0.57.函数的单调性①定义法：设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f（x1）－f（x2）x1－x2＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f（x1）－f（x2）x1－x2＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数；②导数法：注意f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；∴f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件.③复合函数由同增异减的判定法则来判定.④求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.[回扣问题7]函数f(x)＝x3－3x的单调递增区间是________.答案(－∞，－1)，(1，＋∞)8.求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可导函数；(5)换元法(特别注意新元的范围)；(6)分离常数法：适合于一次分式；(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域.[回扣问题8]函数y＝2x2x＋1(x≥0)的值域为________.答案12，19.常见的图象变换(1)平移变换①函数y＝f(x＋a)的图象是把函数y＝f(x)的图象沿x轴向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位得到的.②函数y＝f(x)＋a的图象是把函数y＝f(x)的图象沿y轴向上(a＞0)或向下(a＜0)平移|a|个单位得到的.(2)伸缩变换①函数y＝f(ax)(a＞0)的图象是把函数y＝f(x)的图象沿x轴伸缩为原来的1a得到的.②函数y＝af(x)(a＞0)的图象是把函数y＝f(x)的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.(3)对称变换①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.[回扣问题9]要得到y＝lgx＋310的图象，只需将y＝lgx的图象________.答案向左平移3个单位，再向下平移1个单位10.二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合，二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数、Δ与0的关系、对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.[回扣问题10]若关于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一个正根，则a的范围为________.答案－∞，1411.指、对数函数(1)对数运算性质已知a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0.则loga(MN)＝logaM＋logaN，logaMN＝logaM－logaN，logaMn＝nlogaM，对数换底公式：logaN＝logbNlogba.推论：logamNn＝nmlogaN；logab＝1logba.(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y＝ax的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax的图象恒过定点(1，0).[回扣问题11]设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系是________.答案a＞b＞c12.幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数.(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线.②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0，1)外的直线.③当0＜α＜1时，图象过(0，0)与(1，1)两点，在第一象限内是上凸的.④当α＞1时，在第一象限内，图象是下凸的.(2)增减性：①当α＞0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α＜0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数.[回扣问题12]函数f(x)＝－12x的零点个数为________.答案112x13.函数与方程(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.(2)y＝f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，那么f(x)在(a，b)内至少有一个零点，即至少存在一个x0∈(a，b)使f(x0)＝0.这个x0也就是方程f(x)＝0的根.(3)用二分法求函数零点[回扣问题13](判断题)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(－1，0).()答案√14.导数的几何意义和物理意义(1)函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).(2)v＝s′(t)表示t时刻即时速度，a＝v′(t)表示t时刻加速度.注意：过某点的切线不一定只有一条.[回扣问题14]已知函数f(x)＝x3－3x，过点P(2，－6)作曲线y＝f(x)的切线，则此切线的方程是________.答案3x＋y＝0或24x－y－54＝015.利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)＜0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常数.注意：如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此.`[回扣问题15]函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________.解析f(x)＝ax3－x2＋x－5的导数f′(x)＝3ax2－2x＋1.由f′(x)＝3ax2－2x＋1≥0，得a＞0，Δ＝4－12a≤0，解得a≥13.a＝13时，f′(x)＝(x－1)2≥0，且只有x＝1时，f′(x)＝0，∴a＝13符合题意.答案13，＋∞答案x＝116.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点.[回扣问题16]函数f(x)＝14x4－13x3的极值点是________.