(江苏专用)2016高考数学二轮复习 专题一 第4讲 导数与函数图象的切线及函数零点问题课件 理

第4讲导数与函数图象的切线及函数零点问题高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命题的另一热点.真题感悟(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞，求c的值.解(1)f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－2a3.当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，x∈－∞，－2a3∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈－2a3，0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在－∞，－2a3，(0，＋∞)上单调递增，在－2a3，0上单调递减；当a＜0时，x∈(－∞，0)∪－2a3，＋∞时，f′(x)＞0，x∈0，－2a3时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)，－2a3，＋∞上单调递增，在0，－2a3上单调递减.(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b，f－2a3＝427a3＋b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f－2a3＝b427a3＋b＜0，从而a＞0，－427a3＜b＜0或a＜0，0＜b＜－427a3.又b＝c－a，所以当a＞0时，427a3－a＋c＞0或当a＜0时，427a3－a＋c＜0.设g(a)＝427a3－a＋c，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞，则在(－∞，－3)上g(a)＜0，且在1，32∪32，＋∞上g(a)＞0均恒成立.从而g(－3)＝c－1≤0，且g32＝c－1≥0，因此c＝1.此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]，因函数有三个零点，则x2＋(a－1)x＋1－a＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3＞0，且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，解得a∈(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞.综上c＝1.考点整合1.求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：a的符号零点个数充要条件a＞0(f(x1)为极大值，f(x2)为极小值)一个f(x1)＜0两个f(x1)＝0或者f(x2)＝0三个f(x1)＞0且f(x2)＜0a＜0(f(x1)为极小值，f(x2)为极大值)一个f(x2)＜0两个f(x1)＝0或者f(x2)＝0三个f(x1)＜0且f(x2)＞03.研究两条曲线的交点个数的基本方法(1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案.(2)函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.热点一函数图象的切线问题【例1】(1)(2015·衡水中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a＞0)与曲线C2：x2＋y2＝52的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________.(2)(2015·镇江监测)若曲线C1：y＝3x4－ax3－6x2与曲线C2：y＝ex在x＝1处的切线互相垂直，则实数a的值为________.解析(1)设A(x0，y0)，则C1在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax20，C2在A处的切线的斜率为－1kOA＝－x0y0，又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，所以－x0y0·3ax20＝－1，即y0＝3ax30，又ax30＝y0－1，所以y0＝32，代入C2：x2＋y2＝52，得x0＝±12，将x0＝±12，y0＝32代入y＝ax3＋1(a＞0)，得a＝4.(2)因为y′＝12x3－3ax2－12x，y′＝ex，所以曲线C1，C2在x＝1处的切线斜率分别是k1＝－3a，k2＝e.又两切线互相垂直，所以k1k2＝－3ae＝－1，解得a＝13e.答案(1)4(2)13e探究提高(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.【训练1】(1)已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P(2，0)处的切线方程是________.(2)(2015·苏、锡、常、镇模拟)若曲线f(x)＝x，g(x)＝xa在点P(1，1)处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则a的值为________.解析(1)根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又切线过点P(2，0)，所以切线方程为x－y－2＝0.(2)由题意可知，f′(x)＝12x，g′(x)＝axa－1，∵l1，l2过点P(1，1)，∴1lk＝f′(1)＝12，2lk＝g′(1)＝a.又l1⊥l2，∴1lk·2lk＝12a＝－1.∴a＝－2.答案(1)x－y－2＝0(2)－2热点二利用导数解决与函数零点(或方程的根)有关的问题[微题型1]讨论方程根的个数【例2－1】(2015·南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)·ex的定义域为[－2，t](t＞－2).(1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[－2，t]上为单调函数；(2)当1＜t＜4时，求满足f′（x0）ex0＝23(t－1)2的x0的个数.解(1)∵f′(x)＝(x2－3x＋3)·ex＋(2x－3)·ex＝x·(x－1)ex，由f′(x)＞0，得x＞1或x＜0；由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，若使f(x)在[－2，t]上为单调函数，则需－2＜t≤0，即t的取值范围为(－2，0].(2)∵f′（x0）ex0＝x20－x0，f′（x0）ex0＝23(t－1)2，即x20－x0＝23(t－1)2，令g(x)＝x2－x－23(t－1)2，则问题转化为当1＜t＜4时，求方程g(x)＝x2－x－23(t－1)2＝0在[－2，t]上的解的个数.∵g(－2)＝6－23(t－1)2＝－23(t＋2)(t－4)，g(t)＝t(t－1)－23(t－1)2＝13(t＋2)(t－1)，∴当1＜t＜4时，g(－2)＞0且g(t)＞0，∵g(0)＝－23(t－1)2＜0，∴g(x)＝0在[－2，t]上有两解.即满足f′（x0）ex0＝23(t－1)2的x0的个数为2.探究提高研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.[微题型2]根据零点个数求参数范围【例2－2】(2015·泰州模拟)已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2(e为自然对数的底数，a∈R).(1)判断曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；(2)当x∈1e，e时，若函数y＝f(x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围.解(1)f′(x)＝lnx＋1，所以切线斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴曲线在点(1，0)处的切线方程为y＝x－1.由y＝－x2＋ax－2，y＝x－1⇒x2＋(1－a)x＋1＝0.由Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3＝(a＋1)(a－3)可知：当Δ＞0时，即a＜－1或a＞3时，有两个公共点；当Δ＝0时，即a＝－1或a＝3时，有一个公共点；当Δ＜0时，即－1＜a＜3时，没有公共点.(2)y＝f(x)－g(x)＝x2－ax＋2＋xlnx，由y＝0，得a＝x＋2x＋lnx.令h(x)＝x＋2x＋lnx，则h′(x)＝（x－1）（x＋2）x2.当x∈1e，e时，由h′(x)＝0，得x＝1.所以h(x)在1e，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，因此h(x)min＝h(1)＝3.由h1e＝1e＋2e－1，h(e)＝e＋2e＋1，比较可知h1e＞h(e)，所以，结合函数图象可得，当3＜a≤e＋2e＋1时，函数y＝f(x)－g(x)有两个零点.探究提高对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.【训练2】已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围.解由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx).(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a).解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘1↗所以函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值.当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b＞1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1＞4b－2b－1＞b，f(0)＝1＜b，所以存在x1∈(－2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b＞1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点.综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞).1.求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式y－y0＝f′(x0)(x－x0)，它的难点在于分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点P(x0，y0)的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P(x0，y0)处的切线，必以点P为切点，则此时切线的方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数图象的交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.3.研究函数图象的交点、方程的