3-行列式的应用

第二章行列式(determinant)§2.1行列式的定义•§2.2行列式的性质•§2.3行列式的应用•一、克拉默(Cramer)•二、矩阵求逆公式•三、矩阵的秩§2.3行列式的应用一、克拉默(Cramer)法则设n个方程n个未知数的非齐次线性方程组为11112211211222221122(1)nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb为了确定经过5个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。如果线性方程组(1)的系数行列式1112121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa定理2.2克拉默法则且解可以表示为那么线性方程组(1)有唯一解，.DDx,,DDx,DDx,DDxnn232211其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即jDDjnnnj,nnj,nnnj,j,jaabaaaabaaD11111111111定理2.3如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.对于齐次线性方程组1111221211222211220020nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax定理2.4如果齐次线性方程组(2)的系数行列式,则齐次线性方程组(2)只有零解.0D方程组(2)是方程组（1）的特例，将定理2.2应用到方程组(2)得到定理2.5如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数行列式必为零.000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解.今后可证:系数行列式0D例1用克拉默法则解线性方程组.0674,522,963,85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解6741212060311512D212rr24rr12770212060311357012772121357212cc232cc2770103532733,2767402125603915181D,8167012150609115822D,10860412520693118123D,2707415120903185124D,27,3278111DDx,42710822DDx,1272733DDx.1272744DDx例2问取何值时，齐次方程组,01,032,0421321321321xxxxxxxxx有非零解？111132421D解1011124311331212332212cc)2)(3(齐次方程组有非零解，则0D所以或时齐次方程组有非零解.20,3001121223312)1(13cc二、矩阵求逆公式定义2.2伴随矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵,(),ijnnijijAaaAn设矩阵元素的代数余子式按如下的顺序构成的阶矩阵例3123214221A.求的伴随矩阵A记为定理2.6nn()ijAa,AAAAAE.设则证明,ijaA设,ijbAA记则jninjijiijAaAaAab22110Aijij111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAAAaaaAAAAAAEA112111112112222212221212nnnnnnnnnnnnAAAaaaAAAaaaAAAAAaaaAAAEA定理2.7矩阵可逆的充要条件是A0A.的伴随矩阵为矩阵其中AA奇异矩阵与非奇异矩阵的定义.,0,,0非奇异矩阵称为时当称为奇异矩阵时当AAAAAA.由此可得是可逆阵的充要条件是为非奇异矩阵,11AAA且11A,A.A从证明中可知:若可逆则有.,1ABEBAEAB则或若推论P63P64例4求下列矩阵的逆矩阵1112112212212122aa(1)B,aaaa0.aa其中a(2)Ab,a,b,c0c123(3)A221343112131122232132333AAAAAAAAAA得2343122321A解.1存在A故AAA1122256346221.11125323231264365,222123(3)A221343例求逆矩阵11AA,A,AA.A例5若可逆证明亦可逆且.,,1111AAAA且亦可逆则可逆若逆矩阵的运算性质小结且可逆则数可逆若,,0,2AA.111AA.,,3AAAAT且亦可逆则可逆若TT11.,,411AAAAAA且亦可逆则可逆若且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,5ABBA1ABB11A112(3)2A,A,AA设为三阶方阵求例612821A,BABABAE,A,B例7设满足方程求P64P64三、矩阵的秩.,数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形，行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵nmA矩阵的秩定义2.3k阶子式列行中任取矩阵在kkAmn(kminm,n),位于这些行、列交叉处的2k个元素，.阶子式的称为矩阵k阶行列式，中所处的位置次序而得的kA不改变它们在A.个阶子式共有的矩阵knkmCCkAnm例如123421213112A.求的所有子式解：A的每一个元素为A的一阶子式同理，还可取第一、第三行；第二、第三行计算出的所有二阶子式1213,,212214232434,,,21121121A的二阶子式可先选A的第一、第二行，A中含有这两行元素的所有二阶子式为若A中取三行，可得三阶子式为123212311,124134234211,221121312312112,,由于A为矩阵，所以A中最高阶子式为三阶子式.34010R(4)2.ArD.rDArAA.设在矩阵中有一个不等于的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于，那末称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作并规定零矩阵定的秩等于零义.)(子式的最高阶数中不等于零的是的秩矩阵AARAnm，对于TA).()(ARART显有()RA显然{m,n},min()={m,n},RAmin若则称A为满秩矩阵●秩◎有条理，不混乱的情况：～序。◎古代官吏的俸禄：“官人益～，庶人益禄”。◎古代官职级别：委之常～。贬～三等。◎十年：七～寿辰。⒈order⒉orderly⒊officialsalaries;officialranks计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组只要有一个解。在这种情况下，它有精确的一个解，如果它的秩等于方程的数目。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则通解有k个自由参量，这里的k是在方程的数目和秩的差。否则方程组是不一致的。在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的秩档次内涵例1，求该矩阵的秩．已知510231202231A,022031102120231502320231解计算A的3阶子式，,0,0510312223512310221,0,0.2AR做初等变换，对矩阵510231202231A如果31r2r1322132202130213B,20150000显然，非零行的行数为2，R(B)=2此方法简单！说明对A施行ijrkr的初等变换后,矩阵的秩不变此时B与A的秩相同如果对B再施行初等行变换12rr或2rk(k0)也不会改变B的秩,从而也不改变A的秩82.A~B,RARB.则理若定上例说明:经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．).()(,BRARBA也有经初等列变换变为设P69Proof抽象=?•抽象=难得糊涂:•忽略差别,提取共同点方程个数有真假—线性无关与线性相关•几个方程?•4个?••为何•只剩2个?•有假!--某方程是其余的线性组合--线性相关•打假到底极大无关组货真价实(秩)2个秩(方程的真正个数)的唯一性初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例2.,41461351021632305023秩的求矩阵设AA阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对A解41461351021632305023A00000840001134041461由阶梯形矩阵有三个非零行可知.3)(AR例34321,6063324208421221bA设.)(的秩及矩阵求矩阵bABA解),~,~(bAB的行阶梯形矩阵为设分析：的行阶梯形矩阵，就是则AA~).()()~,~(BRARbA及中可同时看出故从46063332422084211221B)~|~(00000100000120011221bA.3)(,2)(BRARk(1)R(A)1;(2)R(A)2;(3)R(A)31-23k例4设A=-12k-3问取何值时k-23可使P70下面讨论矩阵秩的一些性质和公式性质10()=r00rmnrEAmnAAEr设为矩阵,则R的标准型为其中为阶单位阵.,.例5写出下列矩阵的标准型并指出哪个是满秩矩阵,2)(,A)1(43AR,3)(,A)2(43AR,3)(,A)3(33AR,1)(,A)4(41ARP70小结：.,)(则如下几个命题等价设nnijaAAA,R(A)n;可逆方阵满秩即AEA0;12SiAPPP,P;为初等方阵性质2mnnmmnA,B,C设(1)R()=n(),R()=R()AAABB若此时称为列满秩则(2)R()=m(),R()=R()AACAC若此时称为行满秩则,R()=R()=R()AABBAB特别地若可逆则P7123416232344630Ax,B设例6()=2,x,,RAABA.若求并写出的标准型P71关于矩阵秩的几个常见公式:mnmn(1)A,B,maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)R(B);R(AB)R(A)R(B)设)(),(min)()()(,,A)2(nmBRARABR