中考复习3-弦图专题

弦图专题【类型一】勾股定理的证法及应用例1、(1)图(a)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图(b)所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是______(2)如图(c)所示，直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积是5和11，则b的面积为_________例2、如图,正方形ABCD的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH,则线段GH的长为()A.538B.22C.514D.25检测1、勾股定理被誉为“几何明珠”,在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入长方形内得到的,90BAC,3AB,4AC,点D、E、F、G、H、I都在长方形KLMJ的边上,则长方形KLMJ的面积为()A.90B.100C.110D.121检测2、如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为1S，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S，……，按照此规律继续下去，则9S的值为（）。A.6)21(B.7)21(C.6)22(D.7)22(【类型二】外线弦图例3、如图,在矩形ABCD中,104ADAB，,一把三角尺的直角顶点P在AD上滑动时(点P与A、D不重合),一直角边始终经过点C,另一直角边与AB交于点E.(1)证明AEPDPC~;(2)当30CPD时,求AE的长;(3)是否存在这样的点P,使DPC的周长等于AEP周长的2倍?若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由.变式1、如图，G是边长为8的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD=10．（1）求FG的长；（2）直接写出图中与△BHG相似的所有三角形．变式2、如图1，在矩形纸片ABCD中，38AB，10AD，点E是CD中点。将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到'B处，折痕为HG，连接HE，则EHGtan=_____。例4、情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和DCA''，如图1所示。将DCA''的顶点'A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、)'(AA、B在同一条直线上，如图2所示。观察图2可知：BC相等的线段是_____；'CAC=_____。问题探究：如图3，ABC中，BCAG于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰ABERt和等腰ACFRt，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q。试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论。拓展延伸：如图4，ABC中，BCAG于点G，分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H。若kAEAB，kAFAC，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由。变式1、已知如图,梯形ABCD中,BCAD//,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M,lEP于P,lFQ于Q.求证:FQEP.变式2、如图,分别以ABC的边AC、BC为一边,在ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点,求证:点P到AB的距离是AB的一半.检测1、如图，在ABCtR中，BCAB，90ABC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作CDBG，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论：①FBFGABAG；②CDBADF；③点F是GE的中点；④ABAF32；⑤BDFABCSS5，其中正确结论的序号_____。检测2、如图，已知BCAD//，BCAB，3AB。点F为射线BC上一个动点，连接AE，将ABE沿AE折叠，点B落在点'B处，过点'B作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N。当点'B为线段MN的三等分点时，BE的长为_____。【类型三】内线弦图例5、已知:在直角梯形ABCD中,BCAD//,BCAB,2AD,3BC,设BCD,以D为旋转中心,将腰DC逆时针旋转90至DE,连接AE、CE.(1)当45时,求EAD的面积;(2)当30时,求EAD的面积;(3)当900时,猜想EAD的面积与大小有何关系?若有关,写出EAD的面积S与的关系式;若无关,请证明结论.变式1、如图所示,小路是由黑色的正方形理石和白色的三角形理石铺成,已知中间所有正方形的面积之和是m平方米,小路的左侧的所有三角形面积之和为n平方米,则这条小路一共占地的面积是_________平方米.变式2、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABEF，EP⊥l于P．求证：2EP+AD=2CD．例6、如图,在正方形ABCD中,E为AB中点CEBF,于F,求ABCDBFCSS正方形:.变式、已知:如图,正方形ABCD中,AGDE于E,DEBF//,求证:EFBFAF。检测1、如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么ADEtan的值为_____。检测2、如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；（1）如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B，C分别在∠MAN的边AM，AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；（2）如图③，点B，C分别在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角.已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF.【综合提高】1、如图,已知ABC与BDE都是等边三角形,点D在边AC上(不与A、C重合),DE与AB相交于点F,则图中有()对相似三角形.A.2B.3C.4D.52、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图（1），在边长为)2(aa的正方形各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当45DEPCHNBGMAFQ时，求正方形MNPQ的面积。小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图（2））。请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为____。（2）求正方形MNPQ的面积。（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图（3），在等边ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边RPQ，若33SRPQΔ，则AD的长为_____。【家庭作业】1、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中90DAB，求证：222cba。证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则abECDF。因为abbSSSABCACDADCB21212四边形；又因为)(21212abacSSSDCBADBADCB四边形所以)(2121212122abacabb，所以222cba请参照上述证法，利用图2完成下面的证明。将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中90DAB，求证：222cba。2、如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,1BC,3CE,C到直线AF的距离是()A.223B.5C.553D.23、如图，已知AB=10，P是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别以AP、PB为边作等边三角形APC和等边三角形PBD，则CD的最小值是（）A.4B.5C.6D.74、如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（）.A.6B.5C.72D.345、如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF。如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N。若AD=2，则MN=_____。6、为解决都匀市停车难的问题，计划在一段长为56米的路段规划如图所示的停车位，已知每个车位是长为5米，宽为2米的矩形，且矩形的宽与路的边缘成45角，则该路段最多可以划出_____个这样的停车位。（取4.12，结果保留整数）7、如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，26AO，那么AC的长等于（）A.12B.16C.34D.288、如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点运动速度是/1cm秒，Q点的运动速度是/2cm秒。连接A，P并过Q作APQE垂足为E。（1）求证：QEAABP~。（2）当运动时间t为何值时，QEAABP。（3）设QEA的面积为y，用运动时间t表示QEA的面积y。（不要求考虑t的取值范围）9、（1）如图（1），已知：在ABC中，90BAC，ACAB，直线m经过点A，mlBD，mlCE，垂足分别为点D、E。证明：DE=BD+CE。（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，ACAB，D、A、E三点都在直线m上，并且有BACAECBDA，其中为任意锐角或钝角。请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由。（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BACAECBDA，试判断DEF的形状。