圆的标准方程教案

4.1.1圆的标准方程宁夏育才中学高红霞【三维目标】：1掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。反过来，能根根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2会用待定系数法求圆的标准方程。也要掌握数形结合求圆标准方程的方法，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。3就本节课而言，让学生欣赏和体验圆的对称性，感受解析几何的奥妙，感受数学美.【教学重点】：1圆的标准方程的推导过程，及圆的标准方程特点的明确；2待定系数法求圆的标准方程【教学难点】：1会根据不同的已知条件，利用待定系数法，求圆的标准程。2结合初中平面几何所学的圆的性质，分别求出圆心和半径大，写出圆的标准方程【教学方法】：启发-引导-合作探究式【教学过程】一、情景创设在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探究一：已知圆的圆心A(a,b)及圆的半径R,如何确定圆的方程？确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件22()()xaybr①化简可得：222()()xaybr②引导学生自己证明222()()xaybr为圆的方程，得出结论。方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程.我们把方程②称为圆的标准方程。（standardequationofcircle）（即圆上每一点的横、纵坐标满足的关系式）注意：1圆的标准方程的特征，圆心A(a,b),半径r;2确定元的标准方程的条件,三个参数a,b,r思考：当圆心在原点时圆的方程为？（x2+y2=r2）.巩固练习：1写出下列圆的标准方程(1)圆心在C(-3,4),半径长是5；(2)圆心在C(8，-3),且经过点M(5,1).2说出下列圆的圆心、半径(1)(x+1)2＋(y＋3)2＝2；（进一步分析圆标准方程的特征）(2)(x-1)2＋y2＝a2；(a0)(注意半径为a，说明a=0是可看做圆的极限形式——点圆).二、知识应用与解题研究例1：写出圆心为(2,3)A半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)MM是否在这个圆上.解：圆心是(2,3)A，半径长是5的圆的标准方程是:(x-2)2＋(y＋3)2＝25把点M1、M2的坐标代入圆的方程(x-2)2＋(y＋3)2＝25中，M1（2，-3）使得方程左边等于右边，而M2（-5，-1）使方程左右不相等，所以，点M1、在圆上，_y_x_R_C_M(x,y)M2不在圆上.探究二：点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的关系的判断方法：（几何画板演示）（1）2200()()xayb2r，点在圆外（2）2200()()xayb=2r，点在圆上（3）2200()()xayb2r，点在圆内同类练习：课本课本P121练习2、3题.（利用计算器）练习：圆心为A(3,-1)半径长等于5的圆的方程()A(x–3)2+(y–1)2=25B(x–3)2+(y+1)2=25C(x–3)2+(y+1)2=5D(x+3)2+(y–1)2=5变式一：圆心在C(8，-3),且经过点M(5,1)的圆的标准方程？（挑战高考：2006年重庆高考题）变式二：以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为（）A(x–2)2+(y+1)2=3B(x+2)2+(y-1)2=3C(x–2)2+(y+1)2=9D(x+2)2+(y–1)2=3变式三：ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),ABC求它的外接圆的方程.师生共同分析：从圆的标准方程222()()xaybr可知，要确定圆的标准方程，先要确定abr、、三个参数.（学生自己运算解决）方法一：待定系数法；（教师在黑板上板演解题过程）方法二：先通过几何作图把圆心和半径找到，然后计算出来，代入圆的标准方程.（叫一个学生起来说思路，教师配合用PPT播放过程）同类练习：课本P121练习第4题.总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较两种可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：①根据题设条件，列出关于abr、、的方程组，解方程组得到abr、、的值，写出圆的标准方程.②根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写、出圆的标准方程.三、作业：基础作业：课本124页：A组第2题挑战作业：见PPT四、小结：1、圆的标准方程;2、点与圆的位置关系的判断方法;3、根据已知条件求圆的标准方程的方法;五、板书设计课题：圆的标准方程一：方程的推导过程二：点与圆的位置关系三：例题讲解：--------1.例1：---------------2.---------------3.例2：------222()()xaybr--------