高考数学一轮总复习之相关性、最小二乘估计与统计案例

抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考高考会这样考】1．考查利用散点图判断变量之间的关系．2．考查线性回归方程的计算或回归分析的思想与方法的应用问题．3．考查独立性检验的基本思想及应用．相关性、最小二乘估计与统计案例抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考考点梳理(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的_______．(2)从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为_________．1．相关性散点图曲线拟合抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考(3)若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是_________，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是_____________．如果所有的点在散点图中没有显示_____关系，则称变量间是_________．线性相关非线性相关任何不相关的抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)最小二乘法如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用表达式[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．(2)回归方程方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a，b是待定参数．2．回归方程与回归分析抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考(3)相关系数①r＝∑ni＝1（xi－x－）（yi－y－）∑ni＝1（xi－x－）2∑ni＝1（yi－y－）2＝∑ni＝1xiyi－nx－y（∑ni＝1x2i－nx－2）（∑ni＝1y2i－ny－2）抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考②当r＞0时，表明两个变量_______；当r＜0时，表明两个变量_______．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性_____，r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间__________________________．(1)设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值：变量A：A1，A2＝A－1；变量B：B1，B2＝B－1.2×2列联表正相关负相关越强几乎不存在线性相关关系3．独立性检验抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考BAB1B2总计A1aba＋bA2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d构造一个随机变量χ2＝____________________________________，其中n＝_________________为样本容量．a＋b＋c＋dn（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(2)独立性检验利用随机变量来判断“两个变量_______”的方法称为独立性检验．有关联抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考一个区别函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．两个特征(1)回归方程y＝bx＋a中的b表示x增加一个单位时，y的变化量约为b.(2)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断【助学·微博】抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；②当χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；③当χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；④当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考A．正方体的棱长与体积B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量C．日照时间与水稻的亩产量D．电压一定时，电流与电阻解析A，B，D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量，故选C.答案C考点自测1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是()．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断()．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．答案C抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考3．(2012·湖南)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考A．有99%的人认为该栏目优秀B．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系解析只有X2≥6.635才能有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，而即使X2≥6.635也只是对“电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有99%的人等无关．故D正确．答案D4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是()．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考5．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程：y＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析由题意，知其回归系数为0.254，故家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．答案0.254抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)将表中的数据画成散点图；(2)你能依据散点图指出气温与热茶杯数的关系吗？(3)如果气温与卖出热茶杯数近似成线性相关关系的话，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系．考向一线性相关关系的判断气温/℃261813104－1杯数y202434385064【例1】►下表是某小卖部6天卖出的热茶的杯数与当天气温的对比表.抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考[审题视点](1)用x轴表示气温，y轴表示杯数，逐一画点；(2)根据散点图分析两个变量是否存在相关关系．解(1)画出的散点图如图．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)从图中可以发现气温和热茶杯数具有相关关系，气温和热茶杯数成负相关，图中的各点大致分布在一条直线的附近，因此气温和杯数近似成线性相关关系．(3)根据不同的标准，可以画出不同的直线来近似表示这种线性相关关系，如让画出的直线上方的点和下方的点数目相等．如图．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练1】5个学生的数学和物理成绩如下表：画出散点图，并判断它们是否有相关关系．解把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描点(xi，yi)(i＝1,2，…，5)，作出散点图如图．学生学科ABCDE数学8075706560物理7066686462抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大时，物理成绩也在由小变大，即它们正相关．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考【例2】►(2012·福建)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：考向二线性回归方程及其应用单价x/元88.28.48.68.89销量y/件908483807568(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－bx；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考[审题视点](1)分别计算x－，y－，利用线性回归方程过点(x－，y－)，代入方程可得解；(2)将已知条件代入可得关于单价x的二次函数，配方可得最大值．解(1)由于x－＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y－＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又b＝－20，所以a＝y－－bx－＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y＝－20x＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考＝－20x2＋330x－1000＝－20x－8.252＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．求回归直线方程的步骤：(1)依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；(2)计算出x－，y－，i＝1nx2i，i＝1nxiyi的值；(3)计算回归系数a，b；(4)写出回归直线方程y＝bx＋a.抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)求线性回归方程；(2)据(1)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．房屋面积x/m211511080135105销售价格y/万元24.821.618.429.222【训练2】(2013·南昌模拟)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据.解(1)x＝15×(115＋110＋80＋135＋105)＝109，y＝15×(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2.设所求回归直线方程为y＝bx＋a，则抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考b＝i＝15xi－xyi－yi＝15xi－x2＝3081570≈0.1962，∴a＝y－bx＝23.2－109×3081570≈1.8166.∴所求回归直线方程为y^＝0.1962x＋1.8166.(2)由第(1)问可知，当x＝150m2时，销售价格的估计值为y＝0.1962×150＋1.8166＝31.2466(万元)．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；(2)能否有95%的把握认为晕机与性别有关系？考向三独立性检验的基本思想及应用【例3】►在调查男女乘客是否晕机的事件中，已知男乘客晕机为28人，不晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不晕机的为56人．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考[审题视点](1)列2×2列联表；(2)代入公式求χ2的值进行判断．解(1)2×2列联表如下：晕机不晕机合计男乘客282856女乘客285684合计5684140(2)χ2＝140×（28×56－28×28）256×84×56×84＝359≈3.889＞3.841.所以有95%的把握认为晕机与性别有关系．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考解决独立性检验的应用问题，首先要根据题目条件列出两个变量的2×2列联表，通过计算随机变量χ2的值来判断有多少把握具有关联．抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练3】(2013·江西九校联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．主食蔬菜主食肉类合计50岁以下50