连续函数及其性质

2.6函数的连续性及其性质2.6.1函数的连续性2.6.2函数的间断点2.6.3连续函数的运算初等函数的连续性2.6.4有限闭区间上连续函数的性质48-1定义2.6.1设函数()fx在点0x的某邻域内有定义，如果)()(lim00xfxfxx，就称函数()fx在点0x处连续.直观理解：连续即指极限值=函数值。.2.6.1函数的连续性48-2例2.6.1由于baxbaxxx0)(lim0，所以yaxb在点0xx处连续。例2.6.2由于0lim00xx，所以yx在点0x处连续。例2.6.3设()fx满足2()fxx，则有0lim()(0)xfxf，（夹逼准则）表明()fx在点0x处连续。48-3自变量x的增量：0xxx,（注意x可正，可负，但0x），则0xxx，且00xxx。增量的概念函数()yfx的增量：000()()()()yfxfxfxxfx,（注意y可正，可负，也可为零）。48-4函数()fx在点0x处连续00lim()()xxfxfx00lim[()()]0xxfxfx0lim0xy，即当自变量的增量趋于零时，函数的增量也趋于零。表明当自变量在点0x附近作微小的变化时，对应连续函数的函数值也相应作微小的变化。揭示了函数()fx在点0x处的一种稳定状态.48-5函数()fx在点0x处连续48-6左连续：00lim()()xxfxfx，即00()()fxfx。单侧连续：定理2.6.1函数()yfx在点0x处连续的函数()yfx在点0x处既左连续，又右连续，即)()()(000xfxfxf右连续：00lim()()xxfxfx，即00()()fxfx。本定理适用于讨论分段函数在分点处的连续性问题。48-7例2.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf例2.6.6设sin()xfxx，由于(0)f不存在，故00sinlim()lim1(0)xxxfxfx，所以()fx在点0x处不连续。再如：设sin,0,()1,0,xxfxxx由于00sinlim()lim1(0)xxxfxfx，所以()fx在点0x处连续。48-9如果函数()yfx在区间(,)ab内的每一点处都连续，就称函数()yfx在区间(,)ab内连续，或称函数()yfx为区间(,)ab内的连续函数。如果函数()yfx在区间(,)ab内连续，且在左端点a处右连续，右端点b处左连续，就称函数()yfx在[,]ab上连续，或称函数()yfx为[,]ab上的连续函数.连续函数在几何上表示一条连续曲线.48-10例2.6.7.),(sin内连续在区间函数证明xy证),,(x任取xxxysin)sin()2cos(2sin2xxx,1)2cos(xx.2sin2xy则,0,时当对任意的,sin有,2sin2xxy故.0,0yx时当.),(sin都是连续的对任意函数即xxy由已有结论知：对于任意的0(,)x，⑶对任意多项式函数)()(lim),(00xfxfxfxx；00limsinsin;xxxx⑴00limcoscos;xxxx⑵由0x的任意性，将以上0x换成任意点x，则得sin,cosxx，多项式函数()fx在(,)内均连续。48-12定义2.6.2如果函数()fx在点0x处不连续，即)()(lim0x0xfxfx，就称点0x为函数()fx的间断点。间断点产生于下列三种情形之一：2.6.2函数的间断点⑴0()fx无意义；⑵)(lim0xxfx不存在；⑶0()fx有意义且)(lim0xxfx存在，但)()(lim0x0xfxfx.求间断点的思路48-13间断点分两类：第一类间断点；第二类间断点。间断点的分类第一类间断点包括：可去间断点和跳跃间断点。第二类间断点指：其它间断点。包括无穷间断点、振荡间断点等等。48-141.跳跃间断点.的跳跃间断点为函数则称点但存在,右极限都处左,在点如果)(),0()0()(0000xfxxfxfxxf例4.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)00(f,1)00(f),00()00(ff.0为函数的跳跃间断点xoxy2.可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数义则称点处无定在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx例2.6.7.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy112xy1xy2),1(f解,1)1(f,2)01(f,2)01(f2)(lim1xfx.0为函数的可去间断点x注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如上例中,,2)1(f令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxf特点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点..0处的左、右极限都存在函数在点xoxy112例6.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxfoxy解,0)00(f,)00(f.1为函数的第二类间断点x.断点这种情况称为无穷间3.无穷间断点：如果在点处左、右极限)(xf0x至少有一个为无穷大，则称点为函数的无0x穷间断点.)(xf4、振荡间断点：如果在点处无极限且函数值在某两个最值间变动无限多次，则称为函数的振荡间断点.)(xf0x0x)(xfxy1sin,0处没有定义在x.1sinlim0不存在且xx.0为第二类间断点x.断点这种情况称为的振荡间.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf例2.6.8o1x2x3xyxxfy在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.判断下列间断点类型:,,1,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxf函数例2.6.9.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af),0()00()00(fff要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a例2.6.10函数在点是否间断?属于那种类型?能否补充或改变函数在该点定义使之连续?解函数在点没有定义,所以是函数的间断点.对于,.xxysinkx,2,1,0(k)xxysinkx,2,1,0(k)kx0k0x因为,所以是第一类间断点.令,即可使函数在处连续.对于,因为,所以是第二类间断点且为无穷间断点.1sinlim0xxx0x1)0(f0x0kxxxsinlim0)0(kkx例2.6.11求函数11()1xxfxe的间断点，并判断其类型。解由于函数()fx在点0,1xx处无定义，因此点0,1xx是()fx的间断点．又)(lim0xfx，所以点0x为第二类间断点；而0)(lim1xfx，1)(lim1xfx，所以点1x为跳跃间断点，属于第一类间断点。48-26例2.6.12设nnxxxf211lim)(，讨论()fx的连续性.分析事实上，对于给定的正整数n，211nxx在(,)内连续，但不能依此说明()fx是连续函数，没有间断点．因为在n时，会发生质的变化。因此应该首先求出极限nnxxxf211lim)(。并考虑到20,1,lim1,1,,1.nnxxxx。48-27解21,||1,1,1,1()lim0,110,||1nnxxxxfxxxx1,11,1,1,0,11.xxxxx或当11x或1x或1x时，函数()fx均连续.20,1,lim1,1,,1.nnxxxx48-28续解在1x点，因为(1)(1)(1)0fff，所以函数()fx在1x点也连续;1,11,()1,1,0,11.xxfxxxx或在1x点，因为(1)2(1)0ff，所以点1x为函数()fx惟一的间断点，并且为跳跃间断点.注：分点要单独处理。48-29定理2.6.2设函数()fx和()gx在点0x处均连续，则()()fxgx,()()fxgx及0()(()0)()fxgxgx在0x处连续.2.6.3连续函数的运算初等函数的连续性例2.6.13由于多项式函数(),()PxQx在(,)内连续，所以当()0Qx时，()()PxQx连续，即()()PxQx在定义域内连续。同理，tan,cotxx在定义域内连续。48-30定理2.6.3如果函数()yfx在区间xI上单增（单减）且连续，则它的反函数)(yx在对应的区间)}(|{xfyyIy上也是单增（单减）且连续的.例2.6.14由于sin,cos,tan,cotxxxx在定义域内均连续，所以arcsinx,arccosx在[1,1]上连续；arctanx,arccotx在(,)内连续；即反三角函数在其定义域内均连续.48-31定理2.6.4)].(lim[)()]([lim,)(,)(lim000xfafxfaufaxxxxxxx则有连续在点函数若证,)(连续在点auuf.)()(,,0,0成立恒有时使当afufau,)(lim0axxx又,0,0,00时使当对于xx.)(成立恒有auax将上两步合起来:,0,0,00时使当xx)()]([)()(afxfafuf.成立)()]([lim0afxfxx)].(lim[0xxx意义1.极限符号可以与函数符号互换;.))((.2的理论依据变量代换xu例1.)1ln(lim0xxx求.1xxx10)1ln(lim原式])1(limln[10xxxeln解例2.1lim0xexx求.1)1ln(lim0yyy原式解,1yex令),1ln(yx则.0,0yx时当yyy10)1ln(1lim同理可得.ln1lim0axaxx.)]([,)(,)(,)(00000也连续在点则复合函数连续在点而函数且连续在点设函数xxxfyuuufyuxxxxu定理2.6.5例如,,),0()0,(1内连续在xu,),(sin内连续在uy.),0()0,(1sin内连续在xy证当(0,)x时，lnxyxe，故yx可以看成是连续函数uye和lnux复合而成的，由推论2.6.1知，当(0,)x时，yx是连续的。例2.6.15证明幂函数yx在(0,)内连续.一般地，还可证明幂函数yx在定义域内连续。例2.6.16证明yx在(,)内连续。证2yxx在(,)内连续。48-37三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★)1,0(aaayx指数函数;),(内单调且连续在★)1,0(logaaxya对数函数;),0(内