连续函数性质

第1章函数的极限和连续函数2222连续函数的主要性质若函数()fx在开区间(,)ab内每一点0(,)xab都连续，即在每一点0(,)xab都有00lim()()xxfxfx则称函数()fx在开区间(,)ab内是连续函数(图1-17)。而称函数()fx在闭区间[,]ab上是连续函数，除了它在开区间(,)ab内每一点都连续外，还满足条件[图1-18]:()lim()()xaxafxfa(右连续)和()lim()()xbxbfxfb(左连续)在定义域上连续的函数简称为连续函数。读者在前面看到，多项式、有理函数、指数函数、简单三角函数，在定义域内每一点都是连续的，即它们都是连续函数。从几何上说，区间上的连续函数，它的图形(图象)是连续不断的曲线。根据函数极限的运算规则，能够很容易地证明下面的结论。定理1-5若函数()fx和()gx在点0x都是连续的，则它们的和、差、积、商[除去分母在点0x等于0]在点0x也都是连续的。特别，常数与函数()fx的乘积()fx在点0x当然也是连续的。证证明是简单的。譬如，因为000000lim()()()lim()0()lim()()xxxxxxfxfxfxgxgxgxgx所以商()()fxgx在点0x是连续的。根据上述定理，连续函数的和、差、积、商在定义域内仍是连续函数。函数之间的运算，除了加、减、乘、除外，还有一种复合运算。例如，函数2xa[注意，22()xxaa，不是22()xxaa]是由简单指数函数ua和幂函数2x复合而成的复合函数。再如，logsinax是由简单对数函数logau、幂函数12uvv和简单三角函数sinvx，依次复合成的复合函数。一般地，若函数()fu定义在区间,AB上，而函数()uux定义在区间,ab上，且函数()ux的函数值在区间,AB上，则函数[()]fux就是定义在区间,ab上的函数。称它xxb图1-18yxOa()yfx()fa()fbxx0y0()fxxbOax()yfx图1-17§1-4连续函数的主要性质2323为由外函数()fu和内函数()ux复合成的复合函数。近代数学中把它记成()()fux，即()()fux[()]fux[不是()()fuux！]若内函数()ux在点0x连续，而外函数()fu在相应点00()uux也连续，则复合函数[()]fux在点0x也连续。这是因为，当x无限接近0x时，函数值()ux无限接近00()uux，从而函数值[()]fux就会无限接近0[()]fux。用极限式表示成000lim[()][lim()][()]xxxxfuxfuxfux【极限号0limxx与函数记号f交换次序】我们把这个结论叙述成下面的定理：定理1-6若内函数()ux在点0x连续，而外函数()fu又在点00()uux连续，则复合函数[()]fux在点0x也连续。【注】根据这个定理，若外函数()fu是连续函数，而且有极限lim()xux[有限值]，则有lim()[lim()]xxfuxfux（极限记号与函数记号交换次序）例如limsin(cos)sinlimcossin(cos)xcxcxxc；再如，lim1xxxxx(分子分母同除x)131311lim11lim1lim1xxxxxxxxx(limx与交换次序)100110区间,ab上的连续函数是一元函数微积分研究的主要对象，因为区间上的连续函数具有许多很好的性质。而这些性质是我们能够证明微积分中许多重要定理的基础。虽然从直观上说，这些性质都是很明显的，可是要证明它们是不容易的(证明在第二篇中)。在这些性质中，我们先给出下面几个定理。定理1-7闭区间[,]ab上的连续函数是有界的(有界性定理)，而且有最大值和最小值[最大(小)值定理]。(图1-19)定理1-8若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，且()()0fafb，则至少有一点0x，使0()0fx(零点定理，图1-20)。图1-19()fb()fa2x1xax1()fxm2()fxMbyO第1章函数的极限和连续函数2424例10证明：方程)0,0(sinbabxax至少有一个正根不超过ba。证令()sinfxxaxb。显然，(0)0fb，而另有足够大的正数c使()0fc。因此，必有点0x(0,)c，使0()0fx，即正数0x是方程sinxaxb的根，而且000sinxaxbab推论若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，且()()fafb，则介于()fa与()fb之间的任何数，都是函数()fx的函数值，即至少有一点0(,)xab，使0()fx。（介值定理）证不妨设()()fafb（图1-21）。作辅助函数()()gxfx则函数()gx在闭区间[,]ab上连续，且()0,()0gagb。根据零点定理，至少有一点00()xaxb，使0()0gx，即0()fx。例11设函数)(xf在区间),(ba内连续，),,2,1(),(nibaxi。证明：至少有一点),(bac，使nxfxfxfcfn)()()()(21[算术平均值,均值定理]证设12()max(),(),,()nMfxfxfx最大者，12()min(),(),,()nmfxfxfx最小者则12()()()nfxfxfxmMn根据介值定理，至少有一点),(bac，使12()()()()nfxfxfxfcn在§0-5中说，增函数(或减函数)有反函数，而且反函数也是增函数(或减函数)。另一图1-21a0xbxyO0()fx()fa()fbxb0xO①ay②Oba0xyx图1-20()yfx()yfx§1-4连续函数的主要性质2525方面，若()yfx是闭区间[,]ab上的连续增函数，根据介值定理，它的函数值能够充满整个区间[(),()]fafb，而且它的反函数1()fy是区间[(),()]fafb上的连续增函数(图1-22)。同理，若()yfx是闭区间[,]ab上的连续减函数，则它的反函数1()fy是区间[(),()]fbfa上的连续减函数。上述结论称为反函数连续性定理。请注意，在反函数连续性定理的表述中，说的是闭区间[,]ab，而实际上，开区间．．．(,)ab内连续增．．．．(．减．)．函数的反函数也是连续增．．．．．．．．．．．(．减．)．函数．．。简单三角函数sin22xx，cos0xx，tan22xx，cot0xx和指数函数xa都是连续(增或减)函数，所以它们的反函数(arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx和log)ax也是连续函数。根据定理1-5、定理1-6和简单初等函数(,,log,nxaxax简单三角函数和它们的反函数)的连续性，则由简单初等函数经过所许可的有限次组合(加、减、乘、除或复合)得到的函数(称为初等函数)，在定义域内每一点都是连续的，即它们都是连续函数。特别，一般幂函数loglogaaxxxaa作为复合函数是连续函数。因此，求初等函数在定义域内某点处的极限时，极限值就是那一点的函数值。上面说的初等函数是我们以后进行微分和积分运算的主要对象。例12求极限0log(1)limaxxx。解100log(1)limlimlog1axaxxxxx（交换次序）10loglim1logexaaxx【注意】因为10lim(1)exxx，所以点0是函数1(1)xx的可除间断点（在点0补充函数值e后，它就连续了）。因此，0limx与loga可以交换次序，因为对数函数是连续函数。例13求极限01limxxax。解01limxxax(1)xya令0limlog(1)yayy01limlog(1)yayy01log(1)limayyy1logea【自然对数】以数e为底的对数记成ln(就像以10为底的对数记成lg一样)。假若用自()fb()fa图1-22abOyx()yfx1()fyxyx第1章函数的极限和连续函数2626然对数，上面的演算就会简单得多，即11000ln(1)limlimln(1)lnlim(1)lne1xxxxxxxxx0e1limxxx（令e1xy）0limln(1)yyy01limln(1)yyy0111ln(1)1limyyy尤其在下一章的微分法中，用自然对数比用一般对数好得多。因为ln(1)(0)xxx，e1(0)xxx，根据定理1-4，所以ln(1)()(0)xxoxx(1-1)e1()(0)xxoxx或e1()(0)xxoxx(1-2)在下一章中将会用到式（1-1）和（1-2）。习题1.求下列极限（根据提示将题做到底）：⑴0arcsinlimxxx（令arcsinyx）⑵0011limlimln(12)ln(12)22xxxxxx⑶0(1)1limtxxx[令(1)1tyx][注意，ln(1)ln(1)ytx]⑷10lim1xxx(分0和0两种情形讨论)⑸1limln(1)lnlimln1nnnnnnn（把数列极限看成函数极限的特殊情形）答案：⑴1；⑵21；⑶t；⑷e；⑸12.在下列各题中的空白处填上适当的函数值，使函数在指出点为连续：⑴___)0(,)1ln()(2fxxxf（为什么？）⑵π(),(π)___lnlnπxgxgx（为什么？）⑶___)0(,)1ln()cos1(1cossin3)(2hxxxxxxh（为什么？）答案：⑴0；⑵π；⑶23§1-4连续函数的主要性质27273.证明下列方程必有实根：⑴1e22xx[提示：令1()e22xfxx]⑵119sin116322179xxx4.设()fx在[0,2](0)aa上为连续函数,且(0)(2)ffa。证明:存在点[0,]ca，使()()fcfca5.设()fx在区间(,)内是连续函数。证明：若有lim()lim()xxfxAfxB，则对于任意(,)AB，必有(,)c，使()fc。提示：方法一，令()(tan),,2222FtfttFAFB方法二，因为lim()xfxA，所以有0a使()fa；同理，因为lim()xfxB，所以有0b使()fb6.证明：有连续函数)(xyy)(x满足凯普勒(Kepler)方程)10(sinxyy提示：考虑函数sin()xyyy。显然它是连续函数，再证它是增函数。7.求极限111e(1e)1elim1elim1ennnnnnn提示：111e1nonn。答案：e1