数列通项的求法

高中数学专题讲座深挖教材，回归题目的本质，让高中数学变得不再难第1页共11页数列的通项的求法数列考题中大多都是考通项和求法，特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈，所以掌握求通项的方法是学好数列的最基本的要求。现在的高中数学中数列通项主要有以下一些求法：类型一：观察法求通项公式1、写出数列1,－2,3,－4,5,的一个通项。答案：1(1)nnan2、写出数列1,0,1,0,1,的一个通项。答案：11(1)2nna3、写出数列0，16，16，320，215，的一个通项公式。略解：先将原式不含0的项变形为：16，212，320，430，观察出第一项应该为：02。最终归纳得出：1(1)nnann4、3,33，333,3333，……答案：1(101)3nna类型二：定义型主要是利用前n项和的定义去求数列通项：11,1,2nnnSnaSSn。在这里特别要注意的是：1n时一定要单独讨论。题型一：公式的直接应用1、求下列数列na的前n项和为nS。（1）23nnS略解：（1）当1n时115aS（2）当2n时112323nnnnSS将两式相减得：12nna从而得：15,12,2nnnan高中数学专题讲座深挖教材，回归题目的本质，让高中数学变得不再难第2页共11页2、21(1)(,0)4nnnSanNa对任意的求na。略解：（1）当1n时21111(1)4aSa,从而得11a（2）当2n时22114(1)4(1)nnnnSaSa将两式相减并化简得：11()(2)0nnnnaaaa由于0na，得120nnaa，从而知na是等差数列。易得：21nan题型二：如果题中出现了2nS，nnaS或1nnSS时，一般都是逆用公式，将na换成1nnSS。3、已知数列na中，1a＝1,前n项的和为nS，且1(2)nnnaSSn，求na.略解：将1nnnaSS变形为11nnnnSSSS，两边同除1nnSS得1111nnSS。即知1nS为等差数列，先求nS，进一点求出na。4、设数列na的前n项和为nS，若1a＝1，且满足23(31)(2)nnnSaSn，求na的通项公式。略解：将1nnnaSS代入原式得：21331nnnnSSSS。化简即得：113nnnnSSSS。题型三：将类型一中的nS拓展成任何一个前n项的形式，进而去求数列的通项。5、设数列na满足211233333nnnaaaa…，a*N．求数列na的通。解：（1）当1n时，113a（2）当2n时，由原式可得2211231221231333333333nnnnnnnaaaaanaaaa……两式相减得：1133nna即13nna综合（1）（2）得13nna10、已知各项均为正数的数列na，且对任意的*nN都有高中数学专题讲座深挖教材，回归题目的本质，让高中数学变得不再难第3页共11页33332123123()nnaaaaaaaa记数列na前n项的和为nS。（1）求证：22nnnaSa（2）求na的通项公式。解：（1）由题可得3333321231nnnaaaaaS（1）3333212311nnaaaaS（2）（1）—（2）得3221nnnaSS即：311nnnnnaSSSS。31nnnnaaSS21nnnaSS即2nnnnaSSa。从而得到：22nnnaSa（2）由（1）得：22nnnaSa（a）21112nnnaSa(b)（a）-（b）得：22112nnnnnaaaaa即2211nnnnaaaa。从而得：11nnaa。即数列na是一个等差数列。以下略。类型三：递推型一、累加型：（适用于1()nnaafn型数列）1、已知数列na满足112,,nnaaanab，试用a、b表示na。略解：由原式得：213212(1)nnaaabaaabaanab将上式相加得：1(121)(1)naananb，从而易求na。以下步骤略。2、已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即高中数学专题讲座深挖教材，回归题目的本质，让高中数学变得不再难第4页共11页)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan12311213、数列na满足11a，且对任意的,(,)mnmnZ，总有mnmnaaamn，求数列na的通项公式。提示：在原式中令m=1即可。4、数列na满足16a，*+1+1-11()1nnnnaanNaan。(1)已知11b，+11(1)nnabnn，求数列nb的通项公式。（2）求数列na的通项公式。（3）已知lim02nnn，设2nnnacn。记212nnnScccccc。求limnnS。二、累乘型：（适用于1()nnafna型数列）1、已知数列na满足113a，12321nnnaan(2)n的通项na。略解：原式可变形为21324311537592321nnaaaaaaanan将上述式子左右分别相乘得：211352313357921(21)(21)41nanannnn2、已知数列{}na满足11a，123123(1)nnaaaana（n≥2），则{}na的通项na＝１，1n，n≥２高中数学专题讲座深挖教材，回归题目的本质，让高中数学变得不再难第5页共11页解析；当n≥2时，123123(1)nnaaaana＝11(1)nnana（n≥３）1nnana（n≥３）1nnana（n≥３）13211221nnnnnaaaaaaaaaa＝(1)311nn＝!2n，其中当n＝２时211aa，所以答案是：!2n．类型四：配项型这类题型在高中主要有四类题型：（1）1(,)nnapaqpq其中为常数,直接设1()nnaxpax＋求出x即可。（2）1()(())nnapafnfn其中p为常数,为一次函数或二次函数形式.设1nnapa＋g(n)g(n-1)。其中g(n)由当()fn为一次函数时，设为一次函数，()fn为二次函数时，设为二次函数。但这类题型如果在考题中出现多为证明形式。（3）1(01)nnnapa其中,p为常数,且，两边同除n转化为类型（1）（4）递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足qstpts，再应用前面类型1的方法求解。1、数列na满足：11a，当2n总有132nnaa，求na提示：设13()nnaxax＋求出x=1,从而知na＋1为等比数列，以下略。2、已知数列na满足11a，123nnnaa)2(n，求na．提示：两边同除3n得，12133nnnnaa，化简得：1121333nnnnaa，如果令3nnnab即得1213nnbb，以下略。3、在数列na中，12a，1431nnaan，n*N．高中数学专题讲座深挖教材，回归题目的本质，让高中数学变得不再难第6页共11页（Ⅰ）证明数列nan是等比数列；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；提示：对于（Ⅰ），在高中主要有两种解决方法，一种是直接配，还有一种是换元。换元法更明显直接，更是解决这种证明新数列的通用方法，具体做法如下：设nnban，从而得：nnabn，代入原式即得：14nnbb，即数列nb为等比数列，先求出nb的通项公式，刚后面问题易解决。注：此种类型的问题的一般解决方法如下：4、设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na.解：设BAnbaB，Anabnnnn则，将1,nnaa代入递推式，得12)1(31nBnAbBAnbnn)133()23(31ABnAbn13323ABBAA11BA1nabnn取…（１）则13nnbb,又61b，故nnnb32361代入（１）得132nann说明：若)(nf为n的二次式，则可设CBnAnabnn25、已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。解：由nnnaaa313212可转化为)(112nnnnsaatsaa即nnnstaatsa12)(3132stts311ts或131ts这里不妨选用311ts（当然也可选用131ts，大家可以试一试），则)(31112nnnnaaaannaa1是以首项为112aa，公比为31的等比数列,所以11)31(nnnaa,应用类型1的方法，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即高中数学专题讲座深挖教材，回归题目的本质，让高中数学变得不再难第7页共11页2101)31()31()31(nnaa311)31(11n又11a，所以1)31(4347nna。类型五：构造新数列型类型一：取倒数法形如)(11bakmaannn递推式，考虑函数倒数关系有)11(11makannmkakann111令nnab1则nb可归为qpaann1型。1、已知数列na满足12nnnaaa*()nN，且11a，求na方法一：在12nnnaaa同乘2na并化简得：112nnnnaaaa，两边同除以1nnaa得：11121nnaa，转化为类型四中的第一种题型。以下略。方法二：将原式两边取倒数得：11121nnaa。2、已知数列na满足411a，),2(2111Nnnaaannnn．求数列na的通项公式na；提示：原式两边取倒数得：111(2)(1)nnnaa类型二：取对数型形如：1(0)nnaa的数列可以在两边取对数从而化成一个新的等比数列。3、设正项数列na满足11a，212nnaa（n≥2）.求数列na的通项公式.解：两边取对数得：122log21lognnaa，)1(log21log122nnaa，设1log2nanb，则12nnbbnb是以2为公比的等比数列，11log121b.11221nnnb，1221lognan，12log12nan，∴1212nna类型六：特征根法高中数