三角函数与解三角形专题训练

实用标准文档文案大全三角求值与解三角形专项训练1三角公式运用【通俗原理】1．三角函数的定义：设(,)Pxy，记xOPR，22||rOPxy，则sin,cos,tan(0)yxyxrrx.2．基本公式：22sinsincos1,tancos.3．诱导公式：4．两角和差公式：sin()sincoscossin，cos()coscossinsin，tantantan()1tantan.5．二倍角公式：sin22sincos，2222cos2cossin2cos112sin，22tantan21tan.6．辅助角公式：①22sincossin()abab，其中由tanba及点(,)ab所在象限确定.②22sincoscossincos()ababab，其中由tanba及点(,)ab所在象限确定.【典型例题】1．已知R，证明：sin()cos2.实用标准文档文案大全2．若(0,)2，tan2，求sincos的值.3．已知sin()1，1sin()2，求tantan的值.4．求cos15tan15的值.5．证明：3cos34cos3cos.实用标准文档文案大全【跟踪练习】1．已知3sin()35，求cos()6的值.2．若1sin22，求tan的值.三角求值与解三角形专项训练2.解三角形1．三角形边角关系：在ABC△中，,,ABC的对边分别为,,abc，①ABC；②若abc，则abc；③等边对等角，大边对大角.2．正弦定理：2sinsinsinabcRABC(R是ABC△外接圆的半径).变形：2sinaRA，2sin,2sinbRBcRC.3．余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC.变形：222cos2bcaAbc，其他同理可得.4．三角形面积公式：111sinsinsin222ABCSabCbcAacB△.5．与三角形有关的三角方程：①sin2sin2ABAB或22AB；②cos2cos2ABAB.6．与三角形有关的不等式：①sinsincoscosabABAB.7．解三角形的三种题型：①知三个条件(知三个角除外)，求其他(角、边、面积、周长等)；②知两个条件，求某个特定元素或范围；实用标准文档文案大全③知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值.【典型例题】1．在ABC△中，若coscosaAbB，试判断ABC△的形状.2．在ABC△中，证明：sinsincoscosabABABAB.3．在ABC△中，1a，6A，3b，求角C的大小.4．在ABC△中，2CA，2ca，求角A的大小.5．在ABC△中，sin3cosacCA，求角A的大小.实用标准文档文案大全6．在ABC△中，3c，3C.(I)求ABC△面积的最大值；(II)求ABC△周长的取值范围.【跟踪练习】1．在BCA中，(sinsin)()(sinsin)aABcbCB，求角C.实用标准文档文案大全2．在BCA中，222acbac．(I)求B的大小；(II)求CAcoscos的最大值．3．在BCA中，2223bcabc，23B，23b.(I)求BC边上的中线AD的长；(II)求BAC的角平分线AE的长.实用标准文档文案大全参考答案5.1三角公式【典型例题】1．证明：如图，在单位圆中，记xOP，=2xOQ，有(,),(,)PxyQyx，则sin()2x，而cosx，∴sin()cos2.2．解法一：∵(0,)2，tan2，有sin2cos，代入22sincos1得21cos5，则5cos5，25sin5，∴35sincos5.解法二：∵(0,)2，tan2，∴2(sincos)12sincos222sincos1sincos22tan91tan15，又sincos0，有35sincos5.3．解：由sin()1，1sin()2，得sincoscossin11sincoscossin2，则31sincos,cossin44，OyP(x,y)Q(y,x)2x实用标准文档文案大全∴tantansinsincoscos3sincossincos.4．解：∵cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin3023212622224，tan45tan30tan15tan(4530)1tan45tan30332333，∴cos15tan1526234.5．证明：cos3cos(2)coscos2sinsin222cos(2cos1)2cossin322coscos2cos(1cos)34cos3cos.【跟踪练习】1．解：∵()()632，且3sin()35，∴3cos()cos[()]sin()62335.2．解：由1sin22得12sincos2，即22sincos1sincos4，∴2tan1tan14，即2tan4tan10，解得tan23.由5cos5得5cos(2)25k，即55sinsin55.由25sin5得25sin(2)25k，即2525coscos55，实用标准文档文案大全∴452sincos5.5.3解三角形【典型例题】1．解：由coscosaAbB及正弦定理得sincossincosAABB，即sin2sin2AB，又,(0,)AB，有22AB或22AB，即AB或2AB，∴ABC△是等腰三角形或直角三角形.2．证明：abAB，由ab及正弦定理得2sin2sinsinsinRARBAB，而函数()cosfxx在(0,)上单调递减，有0()()BAfBfA，∴coscosABA，∴sinsincoscosabABABAB.3．解：由正弦定理得sinsinabAB，得sin13sin322bABa．因为31ba，所以BA，故3B或3．当3B时，()()632CAB．当23B时，2()636CAB．∴角C为2或6.4．解：∵ac2，∴由正弦定理有sinC=2sinA．又C=2A，即sin2A=2sinA，于是2sinAcosA=2sinA，在△ABC中，sinA≠0，于是cosA=22，∴A=4．5．解：由条件结合正弦定理得，sinsin3cosacaCAA，从而sin3cosAA，tan3A，∵0A，∴3A.实用标准文档文案大全6．解：(I)∵3,3cC，由余弦定理得222(3)2cos3abab，∴2232ababababab，仅当ab时等号成立，∴ABC△的面积11333sinsin322344SabCab，∴当3ab时，ABC△面积的最大值为334；(II)由(I)得223abab，即23()3abab，∴221()1()32ababab，则2()12ab，即23ab，仅当ab时等号成立.∴ABC△的周长23333abc，仅当3ab时等号成立，而3abc，故23abc，∴ABC△周长的取值范围是(23,33].【跟踪练习】1．解：由已知以及正弦定理，得aabcbcb，即222abcab.，∴2221cos22abcCab，又0πC，，所以π3C.2．解：(I)由已知得:212cos222acbcaB，0BQ，23B；(II)由(I)知:3AC，故033ACC,，所以33coscoscos()cossincos322ACCCCC3sin()3C，30,sin()1323CCQ，3coscos23CA.3．解：(I)由2223bcabc及余弦定理得2223cos22bcaAbc，实用标准文档文案大全又(0,)A，∴6A，则6CAB，即ac，而23b，由sinsinsinabcABC得23sinsinsin636ac，即2ac.AD是BC边上的中线，则1()2ADABAC，∴2221(2cos)746ADcbbc，有||7AD，即BC边上的中线长为7；(II)由(I)得2,23cb，6A，又AE是BAC的平分线，由ABECAEABCSSS△△△得111sinsinsin21221226cAEbAEbc，∴2(31)sin2312AE，即(31)sin312AE，又321262sinsin()123422224，∴6AE，即BAC的角平分线6AE.实用标准文档文案大全5.2三角函数的图象与性质【通俗原理】1．三个基本三角函数的图象与性质sinyx(1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；(2)对称性：关于(,0)k中心对称，关于2xk轴对称；(kZ，下同)(3)周期性：周期为2T；(4)单调性：在[2,2]22kk上递增，在[2,2]22kk上递减；(5)最值性：当22xk时，max1y，当22xk时，max1y；(6)有界性：当xR时，sin[1,1]x.cosyx(1)奇偶性：偶函数，图象关于y轴对称；(2)对称性：关于(,0)2k中心对称，关于xk轴对称；(kZ，下同)(3)周期性：周期为2T；(4)单调性：在[2,2]kk上递减，在[2,22]kk上递增；(5)最值性：当2xk时，max1y，当2xk时，max1y；(6)有界性：当xR时，sin[1,1]x.tanyx(1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；(2)对称性：关于(,0)2k中心对称，不是轴对称图形；(kZ，下同)(3)周期性：周期为T；(4)单调性：在(,)22kk上递增.tanyxyxsinyx(1)切线：曲线sinyx在0x处的切线为yx，曲线tanyx在0x处的切线也为yx；(2)不等式：当(0,)2x时，sintanxxx，当(,0)2x时，tansinxxx，当0x时，sintanxxx.实用标准文档文案大全2．函数图象平移与伸缩变换(1)左右平移：()()yfxayfxa向右平移个单位；同理有如下结果：(2)上下平移：()()yfxbybfx向上平移个单位，即()yfxb；说明：①当0a时，()yfx向右平移a个单位得()yfxa，当0a时，()yfx向左平移||a个单位得()yfxa；②当0b时，()yfx向上平移b个单位得()ybfx