振动与冲击理论基础

第3章振动与冲击理论基础——力学基础（冲击、振动）数学基础（微分方程、随机过程）1概述商品破损的原因:（1）冲击——冲击过程的时间历程不能用数学式描述；冲击幅值是多峰状态，包装的响应是随机分布的；冲击波的形状比较复杂，难以用简单的函数表达；没有明确的冲击作用时间，很难用脉宽来定量时间；(2)振动——某个物理量的值在观测时间内不断地经过极大值和极小值地变化，这种状态的改变称为振动。机械振动——物体在平衡位置附近所做的周期性往复运动，称为机械振动。（包装动力学研究的重点）（3）气候条件（温湿度、风雨、盐雾等）（4）其他因素（如有害气体、热源、放射源、气味源和日光照射等）脆值1.1机械振动组成：振动系统（单摆），振源（给一初始位移），响应振动问题：已知振源、系统特性，求响应环境预测：已知系统特性、响应，求输入系统识别：已知输入、响应，求系统特性车床+混凝土机座弹性垫振动系统激励响应1.1实际包装系统——简化1.2力学模型简化力学模型的原则：（1）要正确反映包装系统的特性；（2）在正确反映包装系统的特性的前提下尽可能简化模型。考虑的具体问题：（1）包装产品是均质刚体，还是由多个部件组成？产品的摆放方式？（2）是否考虑外包装箱的质量和弹性？（3）是否考虑缓冲材料的质量？（4）是否考虑缓冲材料的粘性？1.2力学模型——单自由度系统假设：被包装产品为均质刚体，略去外包装箱的质量和弹性，不计缓冲材料的质量，并视为粘性和阻尼的弹性体。m：产品质量k：缓冲衬垫材料的弹性系数c：缓冲衬垫材料的粘性阻尼系数1.2力学模型——二自由度系统假设：略去外包装箱的质量和弹性，不计缓冲材料的质量，并视为粘性和阻尼的弹性体。m1,m2：易损件和产品质量；k1，c1：易损件与产品间的弹性系数和粘性阻尼系数；k2，c2：产品主体与外包装箱间的缓冲材料的弹性系数和粘性阻尼系数。1.2力学模型——三自由度系统假设：不计缓冲材料的质量，并视为粘性和阻尼的弹性体。m1,m2：易损件和产品质量；m3：外包装箱的质量（外包装箱很重时）；k1，c1：易损件与产品间的弹性系数和粘性阻尼系数；k2，c2：产品主体与外包装箱间的缓冲材料的弹性系数和粘性阻尼系数。1.2力学模型——多自由度系统1.2力学模型——多自由度系统假设：产品叠放在同一包装箱中或同一产品有多个关键零部件不计缓冲材料的质量，并视为粘性和阻尼的弹性体。m1,m2…mn：质量；k1，k2…kn：弹性系数；c1，c2…cn：粘性阻尼系数。1.3机械振动的分类（1）按自由度分：单自由度系统，二自由度系统，三自由度系统，多自由度系统，连续介质系统；（2）按系统运动的微分方程分：线性振动（运动方程为线性微分方程）；非线性振动（运动方程为非线性微分方程）；（3）按系统输入类型分：自由振动：系统只受初干扰或外界激励取消后，系统仅在弹性恢复力的作用下产生振动。强迫振动：系统在外界激励下产生的振动；自激振动：系统在输入和输出之间有反馈特性，并有能量补充而产生的诊断。（4）按系统输出规律分：周期振动随机振动2单自由度线性系统的振动2.1单自由度线性系统的自由振动自由振动——振体在受到初干扰（初位移或初速度）后，仅在系统恢复力的作用下在平衡位置附近作往复运动称为自由振动。2.1.1无阻尼系统的自由振动(a)(b)(c)平衡位置（1）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解图（b）W=F=k（2-1）图（c）F=-k()负号表示力的方向根据牛顿第2定律F=ma得振动体的运动微分方程：W-k()=m由（2-1）得m=-k（作用在振动方向的常力只影响振动中心的位置，而不影响振动规律）stxstxstxxx（1）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解设系统的固有特性，固有频率）得（二阶常系数线性齐次微分方程）解：C，D待定系数代入初始条件：所以,得方程的解mkn/202xxntDtCxnnsincos000,,0vxxxxtCDCxnn0sin0cos00xC000cos0sinvxDDCxnnnnnnnvxD//00tvtxxnnnsin/cos00（1）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解令A振幅：振体偏离振动中心的最大距离相位角，A，由运动的初始条件定。sin0Axtvtxxnnnsin/cos00cos/0AvntAtAtvtxxnnnnnsincoscossinsin/cos00)sin(tAn2220sinAx2220cos)/(Avn22222020cossin)/(AAvxn22020/nvxA00/vxtgn（2）周期、频率和圆频率)sin(tAxn周期：物体作一次完全振动（来回一次）所需的时间称为振动周期，用T表示，则物体在任一时刻t的运动状态（位置和速度）应该与物体在t+T的运动状态（位置和速度）相同——运动状态具有周期性)sin(])(sin[)sin(TtATtAtAnnnn由于正弦函数的数值每经过2π重复一次，故2Tn)(2sTn频率：周期的倒数称为频率。它表示单位时间内（每秒）物体所作的完全振动的次数，单位为赫兹（Hz）。21nTf圆频率：表示振动体在2π秒内的振动次数。（弧度/秒）nfn2（2）周期、频率和圆频率之间的关系说明：周期、频率或固有频率都是由振动系统本身的性质所决定的量；这种由系统本身性质所决定的周期、频率或圆频率往往称为固有周期、固有频率或固有圆频率。mknkmTn22mkTf211例：求质量—弹簧系统的周期、频率或圆频率。结论：质量—弹簧系统的周期、频率和圆频率与重力作用下的静变形有关。stkmgstmgkstngmkgTstn22stgTf211代入（3）计算固有频率的能量法根据能量守恒定理，系统的机械能守恒：T+V=常数T：动能，V：势能具体研究质量—弹簧系统：振动体在任意位置且有速度，则xx（3）计算固有频率的能量法平衡位置：极限位置：在上述系统中：221xmT221kxV0xmaxxx0212kxV2max121xmVTEmaxxx0x0212xmT2max221kxVTE，即21EE2max2max2121kxxm)sin(tAxn)cos(tAxnn1)sin(tnAxmax1)cos(tnnAxmax代入2max2max2121kxxmmkn（4）串联弹簧和并联弹簧的等效刚度串联弹簧11stkmg11kmgst22stkmg22kmgststkmg)11(212121kkmgkmgkmgststst21111kkkniinkkkkk121111112121kkkkk（4）串联弹簧和并联弹簧的等效刚度并联弹簧：推广到N个并联弹簧：2F1FmgstkF11stkF22stkkFFmg)(212121kkkniinkkkkk1212.1.2阻尼对自由振动的影响——衰减振动(1)阻尼振动：振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动。(2)粘滞阻尼的大小:当振体以不大的速度在流体介质（空气、油类等）中运动时，介质给振体的阻尼的大小与振体速度成正比，即——粘滞阻尼系数，取决于振体的形状、大小和介质的性质，单位为牛顿•秒/米。——振体速度，米/秒。——牛顿。-号表示阻尼的方向与振体速度的方向相反。cvRcRv（3）单自由度有阻尼系统的受力分析取平衡位置为坐标原点，该系统的运动微分方程为方程的解可设为代入微分方程得——该系统的特征方程cvkxxm0xmkxmcx（二阶常系数线性齐次微分方程）stAex02mksmcsmkmcmcs22,1)2(2特征方程的解产生重根的情况在物理上具有特殊意义，将对应的阻尼系数称为临界阻尼系数。设——系统中实际存在的阻尼与该系统临界阻尼系数之比，称为阻尼比。0)2(2mkmcnmkmc2nmc2mcss221ncmC21)2(2222,1cnncCcCcmkmcmcscCcns)1(22,1mknkmcmcCcnc22(A)小阻尼系统的自由振动（1）——弱阻尼系统特征方程有两个虚根：振体运动的微分方程的解为：或式中：nis)1(22,1)1sin1cos(22tDtCexnntn)sin(tAexdtnnd212002022)(dnxxxDCA0001xxxtgndA和取决与系统本身的特性和初始条件衰减周期和对数衰减率衰减周期：无阻尼自由振动的周期较小，对系统周期影响较小。在小阻尼情况下，可忽略不计。设相邻两次的振幅分别为和，则振幅比为：任意两个相邻振幅的比值都是常数，通常用振幅比的自然对数来表示幅值的衰减率——对数衰减率（主要用于由实验方法来确定系统的阻尼）nndTT212221iA1iA11)(1TTttiininineAeAeAA212ln211TAAnii(B)临界阻尼系统的自由振动（=1）振体运动的微分方程的解为：—按指数规律衰减的响应，A、B取决于初始条件。(C)大阻尼系统的自由振动（1）——强阻尼系统特征方程有两个负实根：kmmCcnc22tneBtAx)(ns)1(22,1振体运动的微分方程的解为两个衰减指数函数的和：ttnneAeAx)1(2)1(122取决于初始条件21,AA例题1：缓冲衬垫的排列如图所示，其中缓冲衬垫的弹簧刚度为，，，求等效弹簧刚度。解：mmNk/1751mmNk/5.872mmNk/6573mmNkkk/5.2625.87175212,1mmNkkkkk/6.18732,132,1例题2：已知单自由度小阻尼系统在时的第三个振幅比的第二个振幅降低了20%，求此系统的阻尼系数和固有频率。解：（1）求阻尼系数小阻尼系统对数衰减率：（2）求固有频率振动周期，阻尼系统的固有频率为：st2.33st1.32212ln211TAAnii2231.025.1ln8.0lnln2232AAAA035288.02231.042231.042222sradTd/382.6221sttT1.0231sraddn/872.68122.2单自由度系统的受迫振动受迫振动：振动系统在长时间或瞬间的激励作用下发生的振动。2.2.1运动微分方程及求解以静平衡位置为坐标原点，坐标向下为正。F（t）简谐扰力（二阶常系统非齐次微分方程）tFxckxxmsin0tFxmkxmcxsin02.2.1运动微分方程及求解方程的解为：其中：为对应的齐次方程的通解，设，则是一个衰减运动，瞬态解，通常不考虑；为特解（稳态解）：为强迫振动的振幅，为相位角。将代入非齐次微分方程中，可得)sin()sin(21tBtAexxxdtn1x1)sin(1tAexdtn1x2x)sin(2tBxB22,xx2220)()(cmkFB2mkctg——强迫振动的振幅和相位角只决定于系统本身的特性和干扰力的性质，与运动的初始条件无关。(1)频率比：稳态解为：(2)静力偏移：—力幅作用下系统