无穷级数总结

无穷级数总结一、概念与性质1.定义：对数列12,,,nuuu，1nnu称为无穷级数，nu称为一般项；若部分和数列{}nS有极限S，即limnnSS，称级数收敛，否则称为发散.2.性质①设常数0c，则1nnu与1nncu有相同的敛散性；②设有两个级数1nnu与1nnv，若1nnsu，1nnv，则1)(nnnsvu；若1nnu收敛，1nnv发散，则1)(nnnvu发散；若1nnu，1nnv均发散，则1)(nnnvu敛散性不确定；③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数1nnu收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数1nnu收敛的必要条件：0limnnu；注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若0limnnu，则1nnu未必收敛；③若1nnu发散，则0limnnu未必成立．二、常数项级数审敛法1.正项级数及其审敛法①定义：若0nu，则1nnu称为正项级数.②审敛法：（i）充要条件：正项级数1nnu收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.（ii）比较审敛法：设1nnu①与1nnv②都是正项级数，且(1,2,)nnuvn，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.A.若②收敛，且存在自然数N，使得当nN时有(0)nnukvk成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当nN时有(0)nnukvk成立，则①发散；B.设1nnu为正项级数，若有1p使得1(1,2,)npunn，则1nnu收敛；若1(1,2,)nunn，则1nnu发散.C.极限形式：设1nnu①与1nnv②都是正项级数，若lim(0)nnnullv，则1nnu与1nnv有相同的敛散性.注：常用的比较级数：①几何级数：11111nnrrraar发散；②p级数：1111npppn时发散时收敛；③调和级数：112111nnn发散．（iii）比值判别法（达郎贝尔判别法）设1nna是正项级数，若①1lim1raannn，则1nna收敛；②1lim1raannn，则1nna发散．注：若1lim1nnnaa，或lim1nnna，推不出级数的敛散.例11nn与121nn，虽然1lim1nnnaa，lim1nnna，但11nn发散，而121nn收敛.（iv）根值判别法（柯西判别法）设1nna是正项级数，limnnna，若1，级数收敛，若1则级数发散．（v）极限审敛法：设0nu，且limpnnnul，则①0limlunnpn且1p，则级数1nnu发散；②如果1p，而)0(limllunnpn,则其收敛．（书上P317-2-（1））注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正项级数的比（根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．2.交错级数及其审敛法①定义：设0(1,2,)nun，则11(1)nnnu称为交错级数.②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数11(1)nnnu，若1nnuu且0limnnu，则11(1)nnnu收敛.注：比较nu与1nu的大小的方法有三种：①比值法，即考察nnuu1是否小于1；②差值法，即考察1nnuu是否大于0；③由nu找出一个连续可导函数)(xf，使),2,1(),(nnfun考察)(xf是否小于0．3.一般项级数的判别法：①若1nnu绝对收敛，则1nnu收敛.②若用比值法或根值法判定||1nnu发散，则1nnu必发散.三、幂级数1.定义：nnnxa0称为幂级数.2.收敛性①阿贝尔定理：设幂级数0nnnxa在00x处收敛，则其在满足0xx的所有x处绝对收敛．反之，若幂级数0nnnxa在1x处发散，则其在满足1xx的所有x处发散．②收敛半径（i）定义：若幂级数在0xx点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R，使得①当Rxx0时，幂级数收敛；②当Rxx0时，幂级数发散；R称为幂级数的收敛半径.（ii）求法：设幂级数0nnnxa的收敛半径为R，其系数满足条件laannn1lim，或lannnlim，则当l0时，lR1；当0l时，R，当l时，0R．注：求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项（有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．（iii）收敛半径的类型A.0R，此时收敛域仅为一点；B.R，此时收敛域为),(；C.R=某定常数，此时收敛域为一个有限区间．3.幂级数的运算（略）4.幂级数的性质①若幂级数的收敛半径0R，则和函数0)(nnnxaxS在收敛区间),(RR内连续．②若幂级数的收敛半径0R，则和函数0)(nnnxaxS在收敛区间),(RR内可导，且可逐项求导，即0110)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS，收敛半径不变．③若幂级数的收敛半径0R，则和函数0)(nnnxaxS在收敛区间),(RR内可积，且可逐项积分，即xxnnndttadttS000)()(00)),((nxnnRRxdtta，收敛半径不变．5.函数展开成幂级数①若)(xf在含有点0x的某个区间I内有任意阶导数，)(xf在0x点的n阶泰勒公式为)(!)()(!2)())(()()(00)(200000xxnxfxxxfxxxfxfxfn)1(0)1()()!1()(nnxxnf，记)1(0)1()()!1()()(nnnxxnfxR，介于0,xx之间，则)(xf在I内能展开成为泰勒级数的充要条件为IxxRnn,0)(lim.②初等函数的泰勒级数)0(0x（i）0),(,!nnxxnxe；（ii）1121),(,)!12()1(sinnnnxnxx；（iii）02),(,)!2()1(cosnnnxnxx；（iv）01]1,1(,1)1()1ln(nnnxnxx；（v）1)(),1,1(,!)1()1(1)1(nnRxxnnx；（vi）01,11nnxxx；01,)1(11nnnxxx.6.级数求和①幂级数求和函数解题程序（i）求出给定级数的收敛域；（ii）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数)(xs与其导数)(xs的关系），从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数．②数项级数求和（i）利用级数和的定义求和，即sSnnlim，则1nnsu，其中nkknnuuuus121．根据ns的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法．A.直接法：适用于1kku为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n项和时，除首尾两项外其余各项对消掉．（ii）阿贝尔法（构造幂级数法）010limnnnxnnxaa，其中幂级数0nnnxa，可通过逐项微分或积分求得和函数)(xS．因此)(lim10xsaxnn．四、傅里叶级数1.定义①定义1：设)(xf是以2为周期的函数，且在],[或]2,0[上可积，则)2,1,0(,cos)(1cos)(120nnxdxxfnxdxxfan，),2,1(,sin)(1sin)(120nnxdxxfnxdxxfbn，称为函数)(xf的傅立叶系数．②定义2：以)(xf的傅立叶系数为系数的三角级数10)sincos(21nnnnxbnxaa．称为函数)(xf的傅立叶级数，表示为10)sincos(21)(nnnnxbnxaa～xf．③定义3：设)(xf是以l2为周期的函数，且在],[ll上可积，则以llnnxdxlnxfla)2,1,0(,cos)(1，llnnxdxlnxflb)2,1(,sin)(1为系数的三角级数10)sincos(21nnnxlnbxlnaa称为)(xf的傅立叶级数，表示为10)sincos(21)(nnnxlnbxlnaa～xf．2.收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数)(xf在区间],[上满足条件①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则)(xf的傅立叶级数在],[上收敛，且有10)sincos(2nnnnxbnxaaxff；xfxxfxf；xfxxf)],0()0([21)()],0()0([21)(),(000的第一类间断点是的连续点是.3.函数展开成傅氏级数①周期函数（i）以2为周期的函数)(xf：10sincos2)(nnnnxbnxaa～xf)(1xfan),2,1,0(cosnnxdx，1()nbfx),2,1(sinnnxdx；注：①若)(xf为奇函数，则1sin)(nnnxb～xf(正弦级数)，0na),2,1,0(n02()sinnbfxnxdx),2,1(n；②若)(xf为偶函数，则10cos2)(nnnxaa～xf(余弦级数)，02()cosnafxnxdx),2,1,0(n，0nb),2,1(n.（ii）以l2为周期的函数)(xf：10cos2)(nnxlnaa～xf+)sinxlnbnllnxfla)(1),2,1,0(cosnxdxln，llnxflb)(1),2,1(sinnxdxln；注：①若)(xf为奇函数，则1sin)(nnxlnb～xf(正弦级数)，0na),2,1,0(n02()sinlnnbfxxdxll),2,1(n；②若)(xf为偶函数，则10cos2)(nnxlnaa～xf，(余弦级数)02()coslnnafxxdxll),2,1,0(n，0nb),2,1(n.②非周期函数（i）奇延拓：A.)(xf为],0[上的非周期函数，令0),(0),()(xxfxxfxF，则)(xF除0x外在],[上为奇函数，1sin)(nnnxb～xf(正弦级数)，02()sinnbfxnxdx),2,1(n；B.)(xf为],0[l上的非周期函数，则令0),(0),()(xlxflxxfxF，则)(xF除0x外在],[上为奇函数，1sin)(nnxlnb～xf(正弦级数)，02()sinlnnbfxxdxll),2,1(n.（ii）偶延