2.1.2离散型随机变量的分布列(2课时)

引例:抛掷一枚骰子，所得的点数X有哪些值?X取每个值的概率是多少？解：1,6(1)PX则X123456P616161616161⑵求出了X的每一个取值的概率．⑴列出了随机变量X的所有取值．X的取值有1、2、3、4、5、6新课讲授1,61,6(2)PX(3)PX1,6(4)PX1,6(5)PX1.6(6)PX列表1.离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X的所有可能的取值为123,,,,.nxxxxX取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率为P(X=xi)=pi，以表格的形式表示如下:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn这个表就称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.注：1、分布列的构成:⑴从小到大列出了随机变量X的所有取值．⑵求出了X的每一个取值的概率．2.概率分布还经常用图象来表示.O12345678p0.10.2(1)离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象。(2)函数可以用解析式、表格或图象表示，离散型随机变量可以用分布列、等式或图象来表示。可以看出的取值范围{1,2,3,4,5,6}，它取每一个值的概率都是。162.离散型随机变量分布列的性质:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1.离散型随机变量的分布列:⑴0,1,2,,;ipin⑵121.nppp3.X的分布列的表示法:(1)表格法;(2)解析式法:(3)图象法.P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n)课堂练习：2、设随机变量的分布列为则a的值为．,31)(iaiP3,2,1i1、设随机变量X的分布列如下：X1234P613161p则p的值为．311327ξ-101P172747则1(1)77nPn，22(0)77nPn，44(1)77nPn．例1:一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球的个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半，现从该盒中随机取出一球，若取出红球得1分，取出绿球得0分，取出黄球得-1分，试写出从该盒内随机取出一球所得分数ξ的分布列.解;设黄球个数为n,则绿球个数为2n,红球个数为4n,盒中总球数为7n,ξ的所有可能取值为-1,0,1,所以ξ的分布列为:说明：在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1．一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列．例2：解：X的所有取值为：3、4、5、6．{X=3}表示其中一个球号码等于“3”，另两个都比“3”小(3)PX121236CCC1,20(4)PX121336CCC3,20同理(5)PX121436CCC3,10(6)PX121536CCC1.2所以,X的分布列为X3456P20120310321求离散型随机变量的概率分布列的方法步骤：1、找出随机变量ξ的所有可能的取值(1,2,);ixi2、求出各取值的概率();iiPxp3、列成表格.思考题：一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以X表示取出的3个球中的最小号码,试写出X的分布列.解:随机变量X的可取值为1,2,3.当X=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故有P(X=1)==3/5;2345/CC同理可得P(X=2)=3/10;P(X=3)=1/10.因此,X的分布列如下表所示X123P3/53/101/101,2,3,4,5根据射手射击所得环数ξ的分布列,有例3.某一射手射击所得环数ξ的分布列如下:ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手”射击一次命中环数≥7”的概率.分析:”射击一次命中环数≥7”是指互斥事件”ξ=7”,”ξ=8”,”ξ=9”,”ξ=10”的和.解:P(ξ=7）＝0.09，P(ξ=8）＝0.28，P(ξ=9）＝0.29，P(ξ=10）＝0.22，所求的概率为P(ξ≥7）＝0.09+0.28+0.29+0.22=0.88例4.一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此进行有限多次，而随机终止，设分裂n次终止的概率是（n=1，2，3，……）,记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求P（ξ≤10）．1n2解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目ξ的分布列为ξ24816．．．n2．．．P214181161．．．n21．．．∴P(ξ≤10)=P(ξ=2)+P(ξ=4)+P(ξ=8)=87814121．说明:一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．练习：将一枚骰子掷2次,求随机变量两次掷出的最大点数X的概率分布.P654321X1363365367369361136课堂小结:1.离散型随机变量的分布列.2.离散型随机变量的分布列的两个性质：一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.⑴0,1,2,,;ipin⑵121.nppp教学反思:1.离散型随机变量的分布列的理解不是一个难点内容,难点内容是如何求出概率,因此应把重点和难点放在此处;2.注意给学生以独立思考的时间;3.分布列的应用不是难点,让学生独立解决.4.教学中注意渗透数学思想方法.1.离散型随机变量的分布列.2.离散型随机变量的分布列的两个性质：一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.⑴0,1,2,,;ipin⑵121.npppXx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn例1.在掷一枚图钉的随机试验中,令1,0,X针尖向上针尖向下如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p)，于是，随机变量X的分布列是：X01P1-pp象这样的分布列称为两点分布列.3.两点分布.(1)两点分布列的应用非常广泛.如抽取的彩券是否中奖;买回的一件产品是否为正品;新生婴儿的性别;投篮是否命中等等,都可以用两点分布列来研究.X01P1-pp①两点分布又称0-1分布.(2)如果随机变量X的分布列为两点分布列,则称X服从两点分布,而称p=P(X=1)为成功概率.②如果一个随机试验只有两个可能的结果,那么就可以用两点分布随机变量来研究它.③由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验,所以还称两点分布为伯努利分布.X只能取0、1,不能取其他数.例2.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求：（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率.解(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.从100件产品中任取3件结果数为3100,C从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果为3595(0,1,2,3)kkCCk从100件产品中任取3件,其中恰有k件次品的概率为35953100()(0,1,2,3)kkCCpXkkC35953100()(0,1,2,3)kkCCpXkkC例2.在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求：（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率.所以随机变量X的分布列是X0123P035953100CCC125953100CCC215953100CCC305953100CCC(2)P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.14400;或P(X≥1)=1-P(X=0)=1-≈0.14400;035953100CCC如取小数,注意保留小数位不能太少,此外四舍五入时还要注意各个概率和等于1.4.超几何分布.一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k}发生的概率为(),0,1,2,,knkMNMnNCCPXkkmC*min{,},,,,,mMnnNMNnMNN其中且称分布列X01…mP00nMNMnNCCC11nMNMnNCCCmnmMNMnNCCC...为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率.解:设摸出红球的个数为X,则X的所有可能值为0、1、2、3、4、5,且X服从超几何分布.一次从中摸出5个球,摸到k(k=0,1,2,3,4,5)个红球的概率为51020530(),0,1,2,3,4,5kkCCPXkkC于是中奖的概率P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)3241501020102010205553030300.191.CCCCCCCCC例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率.思考？如果要将这个游戏的中奖概率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？分析:这是一个开放性问题,它要求根据中奖概率设计中奖规则,所以问题的答案不唯一.比如用摸球的方法设计游戏,应包括每种颜色的球各是多少,从中取几个球,摸到几个红球才中奖等.也就是说M,N,n,{X=k}中的k都需要自已给出.因此,我们可以先固定N=30,M=10,n=5.,通过调整k达到目的.例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率.思考？如果要将这个游戏的中奖概率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？我们可以先固定N=30,M=10,n=5.,通过调整k达到目的.∵从中摸5个球,至少摸到2个红球的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X≥3)2310205300.1910.55155.1%.CCC∵游戏规则定为至少摸到2个红球就中奖,中奖的概率大约为55.1%.练习:课本P56页练习T3.课堂小结:1.离散型随机变量的分布列及其性质;Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnX01P1-pp2.两点分布(或0-1分布或伯努利分布);3.超几何分布:X01…mP00nMNMnNCCC11nMNMnNCCCmnmMNMnNCCC...作业：课本P57页A组T6，B组T1，T2.教研室编P25-26页随机变量及其分布(3)教学反思:1.两点分布又叫0-1分布,学生容易搞错.注意举例说明;2.超几何分布较难理解,为什么m=min{M,n}要举例让学生弄清楚,不能一笔带过;3.超几何分布的公式不易记忆,要让学生理解,会根据具体数字灵活写出;4.判断是否符合超几何分布是个难点,要多举例.