正余弦定理专题

解斜三角形（正余弦定理灵活应用）1.正弦定理：Aasin=Bbsin=Ccsin=2R.（关键点“比”）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA；①b2=c2+a2－2cacosB；②c2=a2+b2－2abcosC.③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.cosA=bcacb2222；cosB=cabac2222；cosC=abcba2222.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”.判断三角形的形状：1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）答案：CA.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.下列条件中，△ABC是锐角三角形的是（）答案：CA.sinA+cosA=51B.AB·BC＞0C.tanA+tanB+tanC＞0D.b=3，c=33，B=30°解析：由sinA+cosA=51得2sinAcosA=－2524＜0，∴A为钝角.由AB·BC＞0，得BA·BC＜0，∴cos〈BA，BC〉＜0.∴B为钝角.由tanA+tanB+tanC＞0，得tan（A+B）·（1－tanAtanB）+tanC＞0.∴tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.由Bbsin=Ccsin，得sinC=23，∴C=3π或3π2.3.在△ABC中，sinA=CBCBcoscossinsin，判断这个三角形的形状.解：a=abcbacabaccb22222222，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.解斜三角形（求角度和长度）4.已知（a+b+c）（b+c－a）=3bc，则∠A=_______.解析：由已知得（b+c）2－a2=3bc，∴b2+c2－a2=bc.∴bcacb2222=21.∴∠A=3π.答案：3π5.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞21”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞21；sinA＞2130°＜A＜150°A＞30°答案：B6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=41（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______.解析：由S=41（a2+b2－c2）得21absinC=41·2abcosC.∴tanC=1.∴C=4π.答案：45°7.△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：A=2B.证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2A－sin2B=sinBsinC22cos1A－22cos1B=sinBsin（A+B）21（cos2B－cos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（A－B）=sinBsin（A+B），因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin（A+B）≠0.所以sin（A－B）=sinB.所以只能有A－B=B，即A=2B.该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA=bcacb2222=bccbbcb222）（）（=bbc2，cos2B=2cos2B－1=2（acbca2222）2－1=2222ccbbccb）（）（－1=bbc2.所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角，所以A=2B.评述：高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.8.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为23，那么b等于（）答案：BA.231B.1+3C.232D.2+3解析：2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面积为23，且∠B=30°，故由S△ABC=21acsinB=21acsin30°=41ac=23，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB=acbca2222=6212422bb=442b=23，解得b2=4+23.又b为边长，∴b=1+3.9.已知锐角△ABC中，sin（A+B）=53，sin（A－B）=51.（1）求证：tanA=2tanB；（2）设AB=3，求AB边上的高.（1）证明：∵sin（A+B）=53，sin（A－B）=51，∴51sincoscossin53sincoscossinBABABABABABABAtantan51sincos52cossin=2.∴tanA=2tanB.（2）解：2π＜A+B＜π，∴sin（A+B）=53.∴tan（A+B）=－43，即BABAtantan1tantan=－43.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=262（负值舍去）.得tanB=262，∴tanA=2tanB=2+6.设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=ACDtan+BCDtan=623CD.由AB=3得CD=2+6，所以AB边上的高为2+6.10.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及cBbsin的值.剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为cb2=a，再用正弦定理可求cBbsin的值.解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA=bcacb2222=bcbc2=21，∴∠A=60°.在△ABC中，由正弦定理得sinB=aAbsin，∵b2=ac，∠A=60°，∴acbcBb60sinsin2=sin60°=23.解法二：在△ABC中，由面积公式得21bcsinA=21acsinB.∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.∴cBbsin=sinA=23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.11.在△ABC中，若∠C=60°，则cabcba=_______.解析：cabcba=））（（cacbbcbaca22=222cbcacabbcacba.（*）∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2.代入（*）式得222cbcacabbcacba=1.答案：1取值范围题目12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，求y=BBBcossin2sin1的取值范围.解：∵b2=ac，∴cosB=acbca2222=acacca222=21（ca+ac）－21≥21.∴0＜B≤3π，y=BBBcossin2sin1=BBBBcossincossin2）（=sinB+cosB=2sin（B+4π）.∵4π＜B+4π≤12π7，∴22＜sin（B+4π）≤1.故1＜y≤2.13.已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为2.（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值.解：（1）由22（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得22（224Ra－224Rc）=（a－b）Rb2.又∵R=2，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC=abcba2222=21.又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A）=23sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3sin2A=23sin2A－23sin2Acos2A+23=3sin（2A－30°）+23.∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=233.14.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.解析：若c是最大边，则cosC＞0.∴abcba2222＞0，∴c＜5.又c＞b－a=1，∴1＜c＜5.●思悟小结1.在△ABC中，∵A+B+C=π，∴sin2BA=cos2C，cos2BA=sin2C2.∠A、∠B、∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°.3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.