定积分及其应用(精讲精练)

整理文档很辛苦,赏杯茶钱您下走!

免费阅读已结束,点击下载阅读编辑剩下 ...

阅读已结束,您可以下载文档离线阅读编辑

资源描述

实用文档标准文案第5章定积分及其应用学习目标理解定积分的概念,掌握定积分的基本性质.掌握变上限定积分的导数的计算方法.熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分,熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法.了解定积分在经济管理中的应用,会利用定积分计算平面图形的面积.定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念,定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、性质和微积分基本定理,最后讨论定积分在几何、物理上的一些简单应用.5.1定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上,都有着十分重要的意义,它是整个高等数学最重要的内容之一.5.1.1实例分析1.曲边梯形的面积在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线0,,ybxax及曲线)(xfy所围成的图形,如图5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形.现在求0)(xf时,在连续区间],[ba上围成的曲边梯形的面积A(如图5.1(a),(b)所示),用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积,我们按下述步骤来计算:(1)分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形在区间],[ba内任意插入1n个分点:bxxxxxann1210,把区间aoxaobxyaobxbyy(a)(b)(c)图5.1实用文档标准文案],[ba分成n个小区间:],[,],[],,[],,[1,12110nniixxxxxxxx,第i个小区间的长度为),,1(1nixxxiii,过每个分点作垂直于x轴的直线段,它们把曲边梯形分成n个小曲边梯形(图5.2),小曲边梯形的面积记为),2,1(niAi.(2)近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积在小区间],[1iixx上任取一点),,2,1(nii,作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,则),,2,1()(nixfAiii.(3)求和——求n个小矩形面积之和n个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和A,即nAAAA21nnxfxfxf)()()(2211iniixf)(1.(4)取极限令inix1max,当分点n无限增多且0时,和式iniixf)(1的极限便是曲边梯形的面积A,即iniixfA)(lim10.2.变速直线运动的路程设一物体作变速直线运动,其速度是时间t的连续函数)(tvv,求物体在时刻1Tt到2Tt间所经过的路程S.我们知道,匀速直线运动的路程公式是:vtS,现设物体运动的速度v是随时间的变化而连续变化的,不能直接用此公式计算路程,而采用以下方法计算:(1)分割——把整个运动时间分成n个时间段210xxxaoiixx1bxxnn1xiy图5.2实用文档标准文案在时间间隔],[21TT内任意插入1n个分点:21101TttttTnn,把],[21TT分成n个小区间:],[,],[],,[],,[1,12110nniitttttttt,第i个小区间的长度为),,2,1(1nitttiii第i个时间段内对应的路程记作),2,1(niSi.(2)近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程在小区间],[1iitt上任取一点),2,1(nii,用速度)(iv近似代替物体在时间],[1iitt上各个时刻的速度,则有),,2,1()(nitvSiii.(3)求和——求n个小时间段路程之和将所有这些近似值求和,得到总路程的近似值,即nSSSS21nitvtvtv)()()(2211iniitv)(1.(4)取极限令init1max,当分点的个数n无限增多且0时,和式iniitv)(1的极限便是所求的路程S.即iniitvS)(lim10从上面两个实例可以看出,虽然二者的实际意义不同,但是解决问题的方法却是相同的,即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法,最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多,我们抛开实际问题的具体意义,抓住它们在数量关系上共同的本质特征,从数学的结构加以研究,就引出了定积分的概念.5.1.2定积分的概念定义5.1设函数)(xf在区间],[ba上有定义,任取分点bxxxxxann1210把区间],[ba任意分割成n个小区间],[1iixx,第i个小区间的长度为),,1(1nixxxiii,记inix1max.在每个小区间],[1iixx上任取一点),,2,1(nii作和式iniixf)(1,当0时,若极限iniixf)(lim10存在(这个极限值与区间],[ba的分法及点i的取法无实用文档标准文案关),则称函数)(xf在],[ba上可积,并称这个极限为函数)(xf在区间],[ba上的定积分,记作badxxf)(,即badxxf)(iniixf)(lim10.其中,“)(xf”称为被积函数,“dxxf)(”称为被积表达式,x称为积分变量,a称为积分下限,b称为积分上限,],[ba称为积分区间.根据定积分的定义,前面所讨论的两个实例可分别叙述为:①曲边梯形的面积A是曲线)(xfy在区间],[ba上的定积分.badxxfA)((0)(xf).②变速直线运动的物体所走过的路程S等于速度函数)(tvv在时间间隔],[21TT上的定积分.21)(TTdttvS.关于定积分的定义作以下几点说明:⑴闭区间上的连续函数是可积的;闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的.⑵定积分是一个确定的常数,它取决于被积函数)(xf和积分区间],[ba,而与积分变量使用的字母的选取无关,即有babadttfdxxf)()(.⑶在定积分的定义中,有ba,为了今后计算方便,我们规定:baabdxxfdxxf)()(.容易得到0)(aadxxf.5.1.3定积分的几何意义设)(xf是ba,上的连续函数,由曲线)(xfy及直线0,,ybxax所围成的曲边梯形的面积记为A.由定积分的定义及5.1.1实例1,容易知道定积分有如下几何意义:(1)当0)(xf时,Adxxfba)((2)当0)(xf时,Adxxfba)((3)如果)(xf在ba,上有时取正值,有时取负值时,那么以ba,为底边,以曲线)(xfy为曲边的曲边梯形可分成几个部分,使得每一部分都位于x轴的上方或下方.这时实用文档标准文案定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和,如图5.3所示,有321)(AAAdxxfba其中321,,AAA分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积,它们都是正数.例5.1.1利用定积分的几何意义,证明21112dxx.证令]1,1[,12xxy,显然0y,则由21xy和直线1,1xx,0y所围成的曲边梯形是单位圆位于x轴上方的半圆.如图5.4所示.因为单位圆的面积A,所以半圆的面积为2.由定积分的几何意义知:21112dxx.5.1.4定积分的性质由定积分的定义,直接求定积分的值,往往比较复杂,但易推证定积分具有下述性质,其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的.性质5.1.1被积表达式中的常数因子可以提到积分号前,即babadxxfkdxxkf)()(.性质5.1.2两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和,即bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(.这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形.性质5.1.3(积分的可加性)对任意的点c,有bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.注意c的任意性意味着不论c是在],[ba之内,还是c在],[ba之外,这一性质均成立.实用文档标准文案性质5.1.4如果被积函数ccxf(,)(为常数),则baabccdx)(.特别地,当1c时,有baabdx.性质5.1.5(积分的保序性)如果在区间],[ba上,恒有)()(xgxf,则babadxxgdxxf)()(.性质5.1.6(积分估值定理)如果函数)(xf在区间],[ba上有最大值M和最小值m,则).()()(abMdxxfabmba性质5.1.7(积分中值定理)如果函数)(xf在区间],[ba上连续,则在),(ba内至少有一点,使得baabfdxxf))(()(),(ba.证因)(xf在],[ba内连续,所以)(xf在],[ba内有最大值M和最小值m,由性质5.1.6知:).()()(abMdxxfabmba从而有.)(1Mdxxfabmba这就说:badxxfab)(1是介于m与M之间的一个实数.由连续函数的介值定理1.10知:至少存在一点),(ba,使得)()(1fdxxfabba.即baabfdxxf))(()(),(ba.注性质5.1.7的几何意义是:由曲线)(xfy,直线bxax,和x轴所围成曲边梯形的面积等于区间],[ba上某个矩形的面积,这个矩形的底是区间],[ba,矩形的高为区间],[ba内某一点处的函数值)(f,如图5.5所示.显然,由性质5.1.7可得badxxfabf)(1)(,)(f称为函数)(xf在区间],[ba上的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.oabxy)(f)(xfy图5.5实用文档标准文案性质5.1.8(对称区间上奇偶函数的积分性质)设)(xf在对称区间],[aa上连续,则有①如果)(xf为奇函数,则aadxxf0)(;②如果)(xf为偶函数,则aaadxxfdxxf0)(2)(.例5.1.2估计定积分dxex112的值.解设2)(xexf,22)('xxexf,令0)('xf,得驻点0x,比较0x及区间端点1x的函数值,有1)0(0ef,eef1)1(1.显然2)(xexf在区间]1,1[上连续,则)(xf在]1,1[上的最小值为em1,最大值为1M,由定积分的估值性质,得22112dxeex.例5.1.3比较定积分dxx102与dxx103的大小.解因为在区间]1,0[上,有32xx,由定积分保序性质,得dxx102dxx103.定积分定积分的原始思想可以追溯到古希腊.古希腊人在丈量形状不规则的土地的面积时,先尽可能地用规则图形(例如矩形和三角形)把要丈量的土地分割成若干小块,并且忽略那些边边角角的不规则的小块.计算出每一小块规则图形的面积,然后将它们相加,就得到土地面积的近似值.后来看来,古希腊人丈量土地面积的方法就是面积思想的萌芽.在十七世纪之前,数学家们没有重视古希腊人的伟大思想,当时流行的方法是不可分量法.这种方法认为面积和体积可以看作是由不可分量的运动产生出来的.这种方法没有包含极限概念,也没有采用代数与算数的方法.因此,不可分量的思想没有取得成功.虽然积分概念未能很好得建立起来,然而,到牛顿那个年代,数学家们已经能够计算许多简单的函数的积分.虽然十三世纪就出现了利用分割区间作和式并计算面积的朦胧思想(奥雷姆,法国数学家).但是建立黎曼积分(即定积分)的严格定义的努力基本上由柯西开始.他比较早地用函数值的和式的极限定义积分(他还定义了广义积分).但是柯西对于积分的定义仅限于连续函数.

1 / 36
下载文档,编辑使用

©2015-2020 m.777doc.com 三七文档.

备案号:鲁ICP备2024069028号-1 客服联系 QQ:2149211541

×
保存成功