奥数-新定义运算

奥数定义新运算我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。一、定义1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。2、一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。二、初步例题诠释例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=12×4-12-4=48-12-4=32例2、假设a★b=(a+b)÷b。求8★5。分析与解：该题的新运算被定义为:a★b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8，b代表数字5。8★5=（8+5）÷5=2.6例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。求6Δ5。分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070例5、如果规定2=1×2×3，3=2×3×4，4=3×4×5，……计算（21-31）×32。分析与解：该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为X=（X-1）×X×（X+1）。由于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。（21-31）×32=21×32-31×32=31-31×32=31（1-32）=4321×（1-432321）=4321×（1-41）=4321×43=321例6、规定a▲b=5a+21ab-3b。求（8▲5）▲X=264中的未知数。分析与解：根据新定义，应该先计算括号里面的，再计算括号外面的，然后解方程即可。（8▲5）▲X=264（5×8+21×8×5-3×5）▲X=26445▲X=2645×45+21×45×X-3X=264225+245X-26X=264225+239X=264239X=39X=2三、边学边试【例1】A，B表示两个数，定义A△B表示(A+B)÷2，求(1)(3△17)△29；(2)[(1△9)△9]△6。【分析与解】定义新运算符号“△”表示A△B=(A+B)÷2，即两个数做“△”运算就是求这两个数的平均值.如:3△17=(3+17)÷2=10，再用10与29做运算，10△29=(10+29)÷2=19.5(1)原式=[(3+17)÷2]△29(2)原式={[(1+9)÷2]△9}△6=[20÷2]△29=[5△9]△6=10△29=[(5+9)÷2]△6=(10+29)÷2=7△6=39÷2=(7+6)÷2=19.5=6.5【试一试】1、A，B表示两个数，定义A*B=2×A-B.试求:(1)(8.5×6.9)*5(2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)2、设a▽b=a×b+a-2b，按此规定计算：（1）8▽1.25(2)(4▽2.5)▽7【例2】已知2*3=2+22+222=246，3*4=3+33+333+3333=3702.求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若1*x=123，求x.【分析与解】观察两个已知等式可以发现，“*”定义的是连加运算，第一个加数是“*”前边的数，且后一个加数都比前一个加数多一位，但数字相同，而“*”后边的数恰好是加数的个数。（1）3*3=3+33+333=369（2）4*5=4+44+444+4444+44444=49380（3）提示：因为1*x=1+11+111+…=123所以倒着算：123-1=122122-11=111111-111=0即：1+11+111=1*3=123从而可知x=3【试一试】已知5△3=5×6×7，3△6=3×4×5×6×7×8，按此规定计算：（1）（4△3）+（6△2）（2）（3△2）×（4△3）【例3】设A⊕B=2×（A+B）-2×（A÷B），计算：（1）（12⊕4）⊕13；（2）70⊕（18⊕4）。【分析与解】观察已知等式可知：“⊕”定义表示的是两个数和的2倍与商的2倍的差。如：12⊕4=2×（12+4）-2×（12÷4）=26（1）原式=[2×（12+4）-2×（12÷4）]⊕13=[2×16-2×3]⊕13=26⊕13=2×（26+13）-2×（26÷13）=2×39-2×2=78-4=74（2）原式=70⊕[2×（18+4）-2×（18÷4）]=70⊕[2×22-2×4.5]=70⊕35=2×(70+35)-2×(70÷35)=206【试一试】1、规定a⊙b=(a+b)÷(a-b)，按此规定计算:(1)21⊙5(2)(18⊙9)⊙22、设a#b=5a-2b，计算：（12.5#8）#19.72【例4】小辉用电脑设计了A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.装置A:将输入的数加上5；装置B:将输入的数除以2；装置C:将输入的数减去4；装置D:将输入的数乘3.这些装置可以连接，如果装置A后面连接装置B，就写成A·B，输入1后，经过A·B输出了3.那么，输入9，经过A·B·C·D输出几?【分析与解】A·B·C·D=[(9+5)÷2-4]×3=9所以输出的是9【试一试】同学们在做这样一个数字游戏:一张带有数字的卡片在A，B，C，D四位同学间传递，当传递给A时，A将该数字乘5传出，当传递给B时，B将该数字除以2传出，当传递给C时，C将该数字加18传出，当传递给D时，D将该数字减去9后交给主持人，如果一张卡片经过A传递给B记为A→B，那么一张带有18的数字卡片，经过A→B→C→D的传递后交给主持人时卡片上的数字是多少?【理一理】新定义运算注意的问题:(1)新定义运算一般不满足运算定律如:a△b≠b△aa△(b△c)≠(a△b)△c(a*b)△c≠(a△c)*(b△c)(2)“+”“-”“×”“÷”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序.四、练一练1、规定a*b=4a-3b，计算：（1.5*0.8）*0.52、设a，b都表示自然数，规定a☆b=3a+b÷2，计算：（1）5☆6（2）6☆5（3）2☆（3☆5）（4）（2☆3）☆53、规定3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8，…按此规定计算：11*54、如果1=1！，1×2=2！，1×2×3=3！，…1×2×3×4×…×99×100=100！那么1！+2！+3！+4！+…+100！的个位数字是几？5、狼和羊在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号“△”表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△狼=狼。以上运算的意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了，小朋友总是希望羊能战胜狼。所以我们规定另一种运算，用符号“☆”表示：羊☆羊=羊，羊☆狼=羊，狼☆羊=羊，狼☆狼=狼。这个运算的意思是羊和羊在一起还是羊，狼和狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而剩下羊了。对羊和狼，可以用上面规定的运算做混合运算，混合运算的法则是从左到右，先算括号内的，运算的结果或是羊，或是狼。求下列结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）