搜索
二次函数及其应用1．二次函数的概念及解析式(1)概念形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，利用配方可以把二次函数y＝ax2＋bx＋c表示成y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a.(2)二次函数的三种解析式：①一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；②交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)，(x1，0)、(x2，0)是函数与x轴交点坐标；③顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，(－h，k)是顶点坐标．④三种解析式之间的关系：顶点式――→配方一般式――→因式分解交点式⑤解析式的求法：确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件：a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便．b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便．c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式比较方便．2．二次函数的图象和性质二次函数y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，且a≠0)的图象是抛物线．(1)当a＞0时，抛物线的开口_____；对称轴是直线_________；当x＝－b2a时，y有最____值为4ac－b24a；在对称轴左边(即x＜－b2a)时，y随x的增大而_____．在对称轴右边(即x－b2a)时，y随x的增大而_______；顶点(－b2a，4ac－b24a)是抛物线上位置最_____的点；向上x＝－b2a小减小增大低(2)当a＜0时，抛物线的开口____；对称轴是x＝－b2a；当x＝－b2a时，y有最_____值为4ac－b24a；在对称轴左边(即x－b2a)时，y随x的增大而________．在对称轴右边(即x－b2a)时，y随x的增大而_______；顶点(－b2a，4ac－b24a)是抛物线上位置最________的点．下大增大减小高字母符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bb＝0对称轴为y轴b与a同号对称轴在y轴左侧b与a异号对称轴在y轴右侧c＝0经过原点c0与y轴正半轴相交cc＜0与y轴负半轴相交b2－4acb2－4ac＝0与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac0与x轴有两个交点b2－4ac0与x轴没有交点4.二次函数函数的变换(1)二次函数图象的平移①概念：二次函数的平移即为二次函数的顶点坐标的平移，所以解决这类问题先把二次函数转化为顶点式，由顶点坐标的平移确定函数图象的平移．②平移规律口诀：上加下减常数项，左加右减自变量(2)二次函数图象的对称①两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；②两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变；(3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反．5．二次函数与一元二次方程之间的关系方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k就是求二次函数y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点的横坐标．6．二次函数与一元二次不等式间的关系“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“y＞0，y＜0或y≥0，y≤0”，从图象上看是指抛物线在x轴上方或x轴下方的部分．命题点1二次函数的图象与性质1．(2015·锦州5题3分)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a的图象可能是()2．(2016·阜新10题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列选项中正确的是()A．a0B．b0C．c0D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根CB命题点1二次函数的图象与性质3．(2016·沈阳10题2分)在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋2x－3的图象如图所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该二次函数图象上的两点，其中－3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是()A.y1＜y2B.y1＞y2C.y的最小值是－3D.y的最小值是－44．(2016·本溪9题3分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，其对称轴为直线x＝1，下面结论中正确的是()A．abc0B．2a－b＝0C．4a＋2b＋c0D．9a＋3b＋c＝0DD命题点1二次函数的图象与性质5．(2016·锦州8题2分)二次函数y＝ax2＋(b－1)x＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的x与y的部分对应值如下表：有下列结论：①a0；②4a－2b＋10；③x＝－3是关于x的一元二次方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根；④当－3≤x≤n时，ax2＋(b－1)x＋c≥0.其中正确结论的个数为()A．4B．3C．2D．1B命题点1二次函数的图象与性质6．(2016·朝阳10题3分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：(1)b2－4ac＞0；(2)2a＝b；(3)点(－72，y1)、(－32，y2)、(54，y3)是该抛物线上的点，则y1＜y3＜y2；(4)3b＋2c＜0；(5)t(at＋b)≤a－b(t为任意实数)．其中正确结论的个数是()A.2B.3C.4D.5D命题点1二次函数的图象与性质7．(2016·大连16题3分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A、B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是__________．8．(2016·营口18题3分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝－1，点B的坐标为(1，0)．下面的四个结论：①AB＝4；②b2－4ac0；③ab0；④a－b＋c0.其中正确的结论是____________(填写序号)．(－2，0)①②④第7题图第8题图命题点2二次函数图象的平移1．(2014·抚顺14题3分)将抛物线y＝(x－3)2＋1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为________________．y＝(x－2)2＋3命题点3二次函数与一元二次方程1．(2014·盘锦8题3分)如图，平面直角坐标系中，点M是直线y＝2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y＝12x2＋bx＋c的顶点，则方程12x2＋bx＋c＝1的解的个数是()A.0或2B.0或1C.1或2D.0，1或2D命题点3二次函数与一元二次方程2．(2014·锦州7题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图，ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是()A．m≥－2B．m≥5C．m≥0D．m＞4A3．(2014·阜新14题3分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是______________．x1＝0，x2＝2命题点4二次函数的实际应用1．(2016·抚顺24题12分)有一家苗圃计划种植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润y1(万元)与投资成本x(万元)满足如图①所示的二次函数y1＝ax2；种植柏树的利润y2(万元)与投资成本x(万元)满足如图②所示的正比例函数y2＝kx.(1)分别求出利润y1(万元)和利润y2(万元)关于投资成本x(万元)的函数关系式；(2)如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于2万元且不高于8万元，苗圃至少获得多少利润？最多能获得多少利润？命题点4二次函数的实际应用解：(1)∵抛物线y1＝ax2经过点(4，1)，根据题意得42a＝1，解得a＝116.∴y1与x的函数关系式为y1＝116x2.∵y2＝kx经过点(2，1)，根据题意得2k＝1，解得k＝12.∴y2与x的函数关系式为y2＝12x.命题点4二次函数的实际应用(2)设种植桃树的资金投入为x万元，则种植柏树的资金投入为(10－x)万元．两项投入所获得的总利润为y万元，根据题意得y＝116x2＋12(10－x)＝116(x－4)2＋4，∵a＝116＞0，∴抛物线开口向上，∴当x＝4时，y有最小值，y最小＝4(万元)，∵抛物线的对称轴为直线x＝4，∵2≤x≤8，∴当2≤x＜4时，y随x的增大而减小，∴x＝2时，y最大＝116×(2－4)2＋4＝4.25(万元)，∴当4＜x≤8时，y随x的增大而增大，∴x＝8时，y有最大值，y最大＝116(8－4)2＋4＝5(万元)，∵5＞4.25，∴当种植桃树的资金为8万元时，获得利润最大，最大利润为5万元．答：苗圃至少获得4万元利润，最多获得5万元利润．命题点4二次函数的实际应用2．(2016·锦州24题8分)某商店购进一批进价为20元/件的日用商品．第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件．第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．(1)图中点P所表示的实际意义是___________________________________；销售单价每提高1元时，销售量相应减少____件；(2)请直接写出y与x之间的函数表达式___________________；自变量x的取值范围为___________________；(3)第二个月销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？销售单价为35元时，销售量为300件20y＝－20x＋100030≤x≤50命题点4二次函数的实际应用解：(3)设销售利润为W元．则W＝(x－20)(－20x＋1000)＝－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500，∵a＝－200，30≤x≤50，∴当x＝35时，W有最大值，W最大＝4500.答：第二个月销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元．命题点4二次函数的实际应用3．(2016·丹东24题10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？命题点4二次函数的实际应用解：(1)设该一次函数的表达式为y＝kx＋b，函数过点(12，74)，(28，66)，得12k＋b＝7428k＋b＝66，解得k＝－0.5b＝80，∴y与x之间的函数的关系式为y＝－0.5x＋80；(2)根据题意，得，(－0.5x＋80)(80＋x)＝6750，解得，x1＝10，x2＝70，∵投入成本最低．∴x2＝70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克；(3)根据题意，得w＝(－0.5x＋80)(80＋x)＝－0.5x2＋40x＋6400＝－0.5(x－40)2＋7200，∵a＝－0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值，∴当x＝40时，w有最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的产量最大，最大产量是7200千克．命题点4二次函数的实际应用4．(2016·朝阳23题9分)为备战2016年里约奥运全，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函