二次函数动点问题[1]

二次函数与三角形21、如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图像与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于点C，tan∠ABC=2．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？2、如图，抛物线233ymxmx（m＞0）与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，且．1tan3OCB（1）求此抛物线的解析式；（2）如果点D是线段AC下方抛物线上的动点，设D点的横坐标为x，△ACD的面积为S，求S与x的关系式，并求当S最大时点D的坐标；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点的平行四边形？若存在求点P坐标；若不存在，请说明理由．（24题图）(备用图)xyOHGFE3、已知：如图，在□EFGH中，点F的坐标是（-2，-1），∠EFG=45°．（1）求点H的坐标;（2）抛物线1C经过点E、G、H,现将1C向左平移使之经过点F，得到抛物线2C,求抛物线2C的解析式；（3）若抛物线2C与y轴交于点A，点P在抛物线2C的对称轴上运动．请问：是否存在以AG为腰的等腰三角形AGP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、.如图,设抛物线C1:512xay,C2:512xay,C1与C2的交点为A,B,点A的坐标是)4,2(,点B的横坐标是－2.（1）求a的值及点B的坐标；（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG.过C2顶点Ｍ的直线记为l,且l与x轴交于点N.①若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1,2)，求点N的横坐标；②若l与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.5、如图，抛物线2(0)yaxbxca与y轴相交于点C，直线1L经过点C且平行于x轴，将1L向上平移t个单位得到直线2L，设1L与抛物线的交点为C、D，2L与抛物线的交点第25题图为A、B，连接AC、BC.（1）当12a，32b，1c，2t时，探究△ABC的形状，并说明理由；（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；（3）在（2）的条件下，若点A关于y轴的对称点A’恰好在抛物线F的对称轴上，连接A’C，BD，求四边形A’CDB的面积（用含a的式子表示）6、已知：抛物线kkxkkxy22)2(32经过坐标原点．（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；（2）设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA+PB最短，并求出点P的坐标；（3）过点A作AC∥BP交y轴于点C，求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标．7、已知抛物线13)2(2mxmxy.（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧）时，如果∠CAB或∠CBA这两角中有一个角是钝角，那么m的取值范围是；（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当△PAO的面积与△ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式.8、如图，已知抛物线C1：522xay的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；2Lx1LOCABDy（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．9、如图，将腰长为5的等腰Rt△ABC（C是直角）放在平面直角坐标系中的第二象限，使顶点A在y轴上，顶点B在抛物线22yaxax上，顶点C在x轴上，坐标为（1，0）．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）抛物线的关系式为，其顶点坐标为；（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达ABC△的位置．请判断点B、C是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．yxAOBPM图1C1C2C3图24-1yxAOBPN图2C1C4QEF图24-210、如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（1，3），若把线段OA绕点O逆时针旋转120°，可得线段OB．（1）求点B的坐标；（2）某二次函数的图象经过A、O、B三点，求该函数的解析式；（3）在第（2）小题所求函数图象的对称轴上，是否存在点P，使△OAP的周长最小，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．11、如图，已知抛物线C1：5)2(2xay的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点A的横坐标是1．（1）求p点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向左平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点A成中心对称时，求C3的解析式khxay2)(；（3）如图（2），点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标．12、已知：如图1，等边ABC的边长为32，一边在x轴上且0,31A，AC交y轴于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F．（1）直接写出点CB、的坐标；（2）若直线01kkxy将四边形EABF的面积两等分，求k的值；（3）如图2，过点CBA、、的抛物线与y轴交于点D，M为线段OB上的一个动点，过x轴上一点0,2G作DM的垂线，垂足为H，直线GH交y轴于点N，当M点在线段OB上运动时，现给出两个结论：①CDMGNM②DCMMGN，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．13、如图，直线1l：ykxb平行于直线1yx，且与直线2l：12ymx相交于点图1图2(1,0)P．（1）求直线1l、2l的解析式；（2）直线1l与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线2l上的点1B处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线1l上的点1A处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线2l上的点2B处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线1l上的点2A处后，仍沿平行于x轴的方向运动，……照此规律运动，动点C依次经过点1B，1A，2B，2A，3B，3A，…，nB，nA，…①求点1B，2B，1A，2A的坐标；②请你通过归纳得出点nA、nB的坐标；并求当动点C到达nA处时，运动的总路径的长．14、抛物线与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，－3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6.（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S△PAM=3S△ACM，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.15、已知抛物线223yxbxc与x轴交于不同的两点10Ax，和20Bx，，与y轴交于点C，且12xx，是方程2230xx的两个根（12xx）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．16、已知：关于x的一元二次方程222(23)41480xmxmm（1）若0,m求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．17.（本题满分7分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示，抛物线22yaxax经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市)如图，抛物线223yxx与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；C(-1,0)A(0,2)BxyOA72xB(0,4)A(6,0)EFxyO（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．练习1.(河南省实验区)23．如图，对称轴为直线72x的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x轴交于点(10)A，和(50)B，的抛物线1l的顶点为(34)C，，抛物线2l与1l关于x轴对称，顶点为C．（1）求抛物线2l的函数关系式；（2）已知原点O，定点(04)D，，2l上的点P与1l上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点DOPP，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l上是否存在点M，使ABM△是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．543211234554321AEBC1O2l1lxy练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是(40)A，，(20)B，，(08)E，．（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；（2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于CD，两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．二．二次函数与四边形的面积例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x…-3-212…y…-52-4-520…(1)求A、B、C三点的坐标；(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3)当