Kummer判别法的改进和推论[1]

-24-．引言1对于一些正项级数，用达朗贝尔判别法或柯西判别法判定其敛散性失效后，我们可以用判别法[1]或其极限形式来判别．在介绍判别法的极限形式之前，先了解一下几个与其相关的引理．引理1.1引理1.1.11[2]（达朗贝尔判别法或称比式判别法）设为正项级数，且存在某自然数及常数（）若对一切，成立不等式，则级数收敛；1（）若对一切，成立不等式，则级数发散．2引理1.1.22[3]（拉贝判别法）设为正项级数，且存在某自然数及常数，（）若对一切，成立不等式，则级数收敛；1（）若对一切，成立不等式，则级数发散．2引理（判别法）1.1.33Kummer假设则（）若存在某自然数及常数，当时，有，则级数收敛；1（）若时，有且发散，则级数发散．（当中时是比式判别法的2(1)一部分，（）中时是拉贝判别法的一部分．）2判别法的改进和推论Kummer童东付（淮阴师范学院，江苏淮安）223300摘要：对于正项级数，判定其敛散性有许多方法，常用的有达朗贝尔判别法，柯西判别法等，但有些级数用此二法不能判定其敛散性，比如在此二法中极限为的正项级数．在这篇文章中，将给出判定正项级数敛散性1的另外一种方法以及一些相关的推论，解决了以上的问题．关键词：正项级数；收敛；发散；判定；推论中图分类号：文献标识码：文章编号：－（）－－O115A16720520200805002404———————————————收稿日期：2008-03-21作者简介：童东付（—），男，江苏兴化人，淮阴师范学院数学系讲师，研究方向：复分析．1977第卷第期（）河西学院学报（）2452008Vol.24No.52008KummerKummer1nnu∞=∑0N(01),qq0nN1nnuqu+≤1nnu∞=∑0nN11nnuu+≥1nnu∞=∑0nN0N0nN1(1)1nnunru+−≥1nnu∞=∑0nN1(1)1nnunu+−≤1nnu∞=∑0,0nnab(1,2,),n=⋅⋅⋅0Nc0nN110nnnnbaacb++−≥1nnb∞=∑0nN110nnnnbaab++−≤11nna∞=∑1nnb∞=∑1na=nan=-25-对于达朗贝尔判别法和柯西判别法有其相应的极限形式，用判别法的极限形式判定正项级数的敛散性比较方便，那么判别法是否有其极限形式呢？下面的定理将说明一切．．定理和推论2定理假设，2.1（）若，则级数收敛；1（）若级数发散，且，则级数发散．2证明（）设，则对于，存在某个自然数，当时，1有由于式两边同时乘以，则则单调递减，又因，故数列收敛．从而级数收敛[4]，由比较原则知级数收敛．（）设，则对于，存在某个自然数，当时，2有由式：，即．所以当时，有．由于发散，由比较原则知级数发散．例讨论级数的敛散性．1解令，则由于，所以用比式判别法都无法判别该级数的敛散性，现在应用上述定理来判别，取级数，且级数为调和级数，故发散．又因，故级数发散．童东付：判别法的改进和推论KummerKummer0,0nnab(1,2,)n=⋅⋅⋅11lim0nnnnnbaab+→∞+⎛⎞−⎜⎟⎝⎠1nnb∞=∑11nna∞=∑11lim0nnnnnbaab+→∞+⎛⎞−⎜⎟⎝⎠1nnb∞=∑11lim0nnnnnbaapb+→∞+⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠10pp1N1nN1110nnnnbaapb++−≥()a0,()nba1nb+11110nnnnnbabapb+++−≥⋅nnba0nnba{}nnba111()nnnnnbaba∞++=−∑1nnb∞=∑11lim0nnnnnbaaqb+→∞+⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠10qq2N2nN1110nnnnbaaqb++−≤()b()b1111nnnnbaba++≥2211111NnnnnNbbbaaa++≥≥⋅⋅⋅≥2nN22111nNNnbaba++≥⋅⋅11nna∞=∑1nnb∞=∑113(21)24(2)nnn∞=××⋅⋅⋅×−××⋅⋅⋅×∑1113(21)24(2)nnnnun∞∞==××⋅⋅⋅×−=××⋅⋅⋅×∑∑1limnnnuu+→∞21lim122nnn→∞+==+1nna∞=∑1nn∞==∑11nna∞=∑11nn∞==∑11limnnnnnuaau+→∞+⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠22lim(1)21nnnnn→∞+⎡⎤⋅−+⎢⎥+⎣⎦11lim212nnn→∞−−==−+0113(21)24(2)nnn∞=××⋅⋅⋅×−××⋅⋅⋅×∑-26-例2[5]讨论级数的敛散性．解令，由于，所以用比式判别法无法判别该级数的敛散性，应用上述定理判别，取级数，又因故级数收敛．推论已知为正项级数，2.21（）若存在某自然数，当时，有，则级数发散；1（）若存在某自然数，当时，有，则级数收敛．2证明（）在引理的（）中，取，且发散，132已知，所以由于，则，则级数发散．（）在引理的（）中，取，已知，231所以．由于，则，河西学院学报年第期200851!(21)(22)(2)nnn∞=++⋅⋅⋅+∑1nnb∞=∑1!(21)(22)(2)nnn∞==++⋅⋅⋅+∑1limnnnbb+→∞=1lim21nnn→∞+++1=1nna∞=∑11nn∞==+∑11limnnnnnbaab+→∞+⎛⎞−⎜⎟⎝⎠limn→∞=()21121nnnn⎡⎤⎛⎞++⋅+−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟+⎢⎥⎝⎠⎣⎦limn→∞=()212nn++−+limn→∞=1212nn−⎛⎞+⎜⎟+++⎝⎠20,=1!(21)(22)(2)nnn∞=++⋅⋅⋅+∑1nnb∞=∑1N1nN1nnnbeb+⎛⎞⎜⎟⎝⎠1nnb∞=∑2N2nN1nnnbeb+⎛⎞⎜⎟⎝⎠1nnb∞=∑nan=1111nnnan∞∞===∑∑111(1)0nnnnnnbbaannbb+++−=−+≤1111nnbnbnn++≤=+0nb111nnnnbebn+⎛⎞⎛⎞≤+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠1nnb∞=∑nan=111(1)0nnnnnnbbaannbbα+++−=−+≥1111nnbnbnnαα++++≥=+0nb1nnnbb+⎛⎞≥⎜⎟⎝⎠(1)1111nnααα⋅++⎛⎞⎜⎟+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠-27-所以所以存在某自然数，当时，有，则级数收敛．推论对于正项级数，记，若2.32（）若，则级数发散；1（）若，则级数收敛．2证明若为有限常数，则对，当足够大时，（）当，取，则得：，由推论知：级数发散．11（）当，取，则得：由推论知：级数收敛．21例判定级数的敛散性．3解令，则所以从而（洛比达法则），即，故原级数发散．例判别正项级数的敛散性．4解令，则所以，由推论知：原级数收敛．2童东付：判别法的改进和推论Kummer1limnnnnbb→∞+⎛⎞≥⎜⎟⎝⎠limn→∞(1)1111nnααα⋅++⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎜⎟⎝⎠2N2nN1nnnbeb+⎛⎞⎜⎟⎝⎠1nnb∞=∑1nnb∞=∑1nnnnbHb+⎛⎞=⎜⎟⎝⎠1limlimnnnnnnbHab→∞→∞+⎛⎞==⎜⎟⎝⎠ae1nnb∞=∑ae1nnb∞=∑a0ε∀nnaHaεε−+aeeaε−nHaeε+()10nnnbb∞=∑aeaeε−nHaeε−()10nnnbb∞=∑1(!)nnnnne∞=∑(!)nnnnane=11nnnnnnanHean+⎡⎤⎛⎞⎛⎞===⎢⎥⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎢⎥⎝⎠⎣⎦,11nnen⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦lnnH=ln11nenn⋅⎛⎞+⎜⎟⎝⎠11ln1.nnn⎡⎤⎛⎞=−+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦limlnlimnnnH→∞→∞=211ln(1)1nnn−+1lim2(1)2nnn→∞==+12limnnHee→∞=1!456(3)nnn∞=×××⋅⋅⋅×+∑!456(3)nnan=×××⋅⋅⋅×+1313111nnnnnnanHann+⎛⎞++⎛⎞⎛⎞===+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠⎝⎠133111.13nnnn+⋅+⎛⎞⎜⎟+⎜⎟+⎜⎟⎝⎠3limnnHee→∞=上转第（）页15-15-参考文献：．，（）：．[1]Z.Pawlak.Roughsets[J]Int.J.ComputerInformation.Science,1982111341~356．，（）：．[2]Y.Y.Yao.Constructiveandalgebraicmethodsofthetheoryroughsets[J]InformayionScience,19982109121~47．，（）：．[3]N.Kuroki.P.P.Wang.Thelowerandupperapproximationsinafuzzygroup[J]InformationScience,1996902203~220．，（）：．[4]T.Iwinski.Algebraicapproachtoroughsets[J]Bull.PolishAcad.Math,1987352673~683．，（）：．[5]R.BiswasandS.Nanda.Roughgroupsandroughsubgroups[J]Bull.PolishAcad.Math,1994422251~254张文修，梁吉业，等．粗糙集理论与方法．北京：科学出版社，：．[6][M]200172~74．，：．[7]JacobsonN.BasicAlgebra[M]Peiking:AdvanceEducationpress19874~28责任编辑：张飞羽[]河西学院学报年第期20085ANewBriefProofofthePropertiesoftheUpperApproximationinaGroupZhangJin-ling（）DepartmentofMathematics,XiangfanCollege,XiangfanHubei,441053Abstract:TheLowerandupperapproximationsinagroupwasstudiedbyNobuakiKuroki.Buthisproofsofsomeresultsdependsonthedefinitionofthelowerandupperapproximationwhichisnotbrief.Andsomeresultscanbeenextended.Thispapergivesamorebriefproofofthepropertiesoftheupperapproximation.extendsthepropertiesoftheupperapproximation.Keywords:Upperapproximation;Roughset;Homomorphism下接第（）页27参考文献:裴礼文．数学分析中的典型问题与方法．北京：高等教育出版社，：．[1][M]1993348华东师范大学数学系．数学分析（第二版）下册．北京：高等教育出版社，：．[2][M]198110华东师范大学数学系．数学分析（第二版）下册．北京：高等教育出版社，：．[3][M]198118华东师范大学数学系．数学分析（第二版）下册．北京：高等教育出版社，：．[4][M]19817费定晖，周学圣．吉米多维奇数学分析习题集题解（四）［］．山东：山东科学技术出版社，：．[5]M198034OnkummerMethodandItsRelevantCorollariesTongDong-fu（）HuaiyinNormalUniversity,Huai'an,Jiangsu223300．Abstract:Forpositiveseries,therearemanymethodsofjudgingitsconvergenceanddivergenceUsuallywe．canusethemethodssuchasD'AlembertandCauchyButitisimpossibletodeterminetheconvergenceand．dive