导数的概念及几何意义

§2导数的概念及其几何意义2．1导数的概念2．2导数的几何意义1．导数的概念(1)定义：设函数y＝f(x)，当自变量x1趋于x0时，即Δx趋于0时，如果平均变化率ΔyΔx＝fx1－fx0x1－x0＝fx0＋Δx－fx0Δx趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的___________，也称为y＝f(x)在x0点的________．(2)记法：函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝_______________＝____________________.瞬时变化率导数limx1→x0fx1－fx0x1－x0limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx注意：(1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数．(2)Δx是自变量x在x0处的改变量，Δx≠0，当Δx0时,Δx→0表示x0＋Δx从x0右边趋近于x0，反之，当Δx0时，Δx→0表示x0＋Δx从x0左边趋近于x0,Δy是相应函数的改变量，Δy可正、可负，也可以为0.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点_____________处的切线的________．函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率反映了导数的几何意义．注意：导数的物理意义：函数S＝S(t)在点t0处的导数S′(t0)，就是当物体的运动方程为S＝S(t)时，物体在时刻t＝t0时的瞬时速度v，即v＝S′(t0)；函数v＝v(t)在点t0处的导数v′(t0)，就是当物体的运动速度方程为v＝v(t)时，物体在时刻t＝t0时的瞬时加速度a，即a＝v′(t0)．(x0，f(x0))斜率3．切线的意义如图，当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋向于点A，割线AB将绕点A转动，最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．该切线的斜率就是函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)．利用导数的定义求函数在某点处的导数求函数y＝3x2在x＝1处的导数．(链接教材P32例1)[解]∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx，当Δx趋于0时，6＋3Δx趋于6，所以f(x)在x＝1处的导数等于6.方法归纳求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤解：因为ΔyΔx＝fa＋Δx－faΔx＝a＋Δx2＋3－a2＋3Δx＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，2a＋Δx趋于2a，所以f(x)在x＝a处的导数等于2a.1．求函数f(x)＝x2＋3在x＝2处的导数．2．曲线f(x)＝－3x2＋2在点(1,2)处的切线的斜率为________.利用导数求切线的方程已知曲线C：y＝13x3＋43.(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．(2)在第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？[解](1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4.∴切点P(2,4)．∵Δy＝13(2＋Δx)3＋43－13×23－43＝4Δx＋2(Δx)2＋13(Δx)3，∴ΔyΔx＝4＋2Δx＋13(Δx)2，当Δx趋于0时，4＋2Δx＋13(Δx)2趋于4，所以曲线在x＝2处的导数等于4.即切线的斜率为4，故所求切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)由y＝4x－4，y＝13x3＋43，可得(x－2)(x2＋2x－8)＝0.解得x1＝2，x2＝－4.从而求得公共点P(2,4)或M(－4，－20)，即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20)．方法归纳(1)利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：①求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；②写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.(2)曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．2．已知直线l：y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．解：设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则ΔyΔx＝x＋Δx3－2x＋Δx2＋3－x3－2x2＋3Δx＝x3＋3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3－2x2－4xΔx－2Δx2－x3＋2x2－3Δx＝3x2＋3xΔx＋(Δx)2－4x－2Δx.当Δx趋于0时，ΔyΔx趋于3x2－4x.由导数的几何意义，得：k＝f′(x0)＝3x20－4x0＝4，解得：x0＝－23或x0＝2.∴切点坐标为－23，4927或(2,3)．当切点为－23，4927时，有4927＝4×－23＋a，∴a＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5.因此，当a＝12127时，切点为(－23，4927)；当a＝－5时，切点为(2,3)．与导数有关的问题及导数的应用已知f(x)＝x＋2，(1)求f′(x);(2)求f(2).[解]∵Δy＝x＋Δx＋2－x＋2，∴ΔyΔx＝x＋Δx＋2－x＋2Δx＝x＋Δx＋2－x＋2Δxx＋Δx＋2＋x＋2＝1x＋Δx＋2＋x＋2，∴f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→01x＋Δx＋2＋x＋2＝12x＋2，∴f′(2)＝122＋2＝14.方法归纳(1)f′(2)即求函数f(x)在x＝2处的导数．(2)运用定义法求导数，在解题时要注意运算技巧，遇到根式时，常常需要进行分子(或分母)有理化．解：由导数的定义知，f′(x)＝limΔx→0ΔfxΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝2x，g′(x)＝limΔx→0ΔgxΔx＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝3x2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－73或1＋73.3．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x值．规范解答求过某点的曲线的切线方程(本题满分12分)已知曲线f(x)＝2x3－3x，过点M(0,32)作曲线f(x)的切线，求切线的方程．[解]经检验知点M(0,32)不在曲线上，1分设切点坐标为N(x0,2x30－3x0)，ΔyΔx＝2x0＋Δx3－3x0＋Δx－2x30＋3x0Δx＝2x30＋6x20Δx＋6x0Δx2＋2Δx3－3x0－3Δx－2x03＋3x0Δx＝6x20＋6x0Δx＋2(Δx)2－3.5分当Δx趋于0时，ΔyΔx趋于6x20－3，∴切线的斜率k＝f′(x0)＝6x20－3，7分切线方程为y＝(6x20－3)x＋32，又点N在切线上，所以2x30－3x0＝(6x20－3)x0＋32，9分解得x0＝－2，故切线方程为y＝21x＋32.12分132[规范与警示](1)是“某点处”还是“过某点”要分清，验证是关键．本步计算量大，是解本题的易错点(失分点)．将N点代入切线方程，解高次方程求出x0的值是正确求解的保障，因想不到不会做造成失分．(2)求曲线的切线时，注意区分“求曲线y＝f(x)上过点M的切线”与“求曲线y＝f(x)上在点M处的切线”，前者只要求切线过M点,M点未必是切点，因此求解时应先设出切点坐标；而后者则很明确，切点就是M点.132已知曲线xy1(1)求曲线在点处的切线方程；11，P(2)求曲线过点处的切线方程；01，Q(3)求满足斜率为的曲线的切线方程.31易错警示忽视导数定义中Δx与Δy的对应关系致误设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且limΔx→0fx0－3Δx－fx0Δx＝1，则f′(x0)等于()A．1B．－1C．－13D.13C[解析]∵limΔx→0fx0－3Δx－fx0Δx＝limΔx→0[fx0－3Δx－fx0－3Δx·(－3)]＝－3f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－13，故选C.[错因与防范]本题易错选D.错因是忽视了分子与分母相应的符号的一致性，在利用导数的定义求函数在某一点的导数时，ΔyΔx中Δx是分子中被减数的自变量减去减数的自变量的差，要深刻理解以防出错．4．设函数f(x)在点x0处可导，且f′(x0)已知，求下列各式的极限值．(1)limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx；(2)limh→0fx0＋h－fx0－h2h.解：(1)limΔx→0fx0－Δx－fx0Δx＝－limΔx→0fx0－fx0－ΔxΔx＝－f′(x0)．(2)limh→0fx0＋h－fx0－h2h＝f′(x0)．