一次函数知识要点与经典题型1

八年级数学（上册）(1)圆的周长C与半径r的关系式;例：写出下列问题中的关系式,并指出其中的常量与变量(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程s(千米）和所用时间t（时）的关系式;(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.C=2πr2π是常量;C与r是变量S=60t60是常量;S与t是变量.S=(n-2)·18001800与2是常量;S与n是变量.一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量；例：指出下列问题中的自变量与函数.1.“票房收入问题”中y=10x，对于x的每一个值，y都有的值与之对应，所以是自变量，y是x的函数.2.“行程问题”中s=60t，对于t的每一个值，s都有_____的值与之对应，所以是自变量，是的函数.归纳：如果有两个变量，对于x的每一个值，y都有的值与之对应，称x是，y是x的．唯一x唯一tst唯一自变量函数二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.（1）解析式法（2）列表法（3）图象法正方形的面积S与边长x的函数关系为：S=x2(x＞0)三、函数有三种表示形式：y/米150010005001020304050x/分钟A．OOy/米B．x/分钟150010005001020304050y/米C．O102030405015001000500x/分钟x/分钟y/米150010005001020304050D．O例：小刚今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐,吃早餐用了20分钟;再用10分钟赶到离家1000米的学校参加考试.下列图象中,能反映这一过程的是（）．一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．四、函数图象的定义：D1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。五、用描点法画函数的图象的一般步骤：注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。八年级数学第十一章函数六、函数中自变量取值范围的求法：（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。求下列函数的自变量x的取值范围：xy111xyxy2xy54xy(x≠0)(x≠-1)(x≥0)(x为一切实数）(x≥2)32xy(x为一切实数）七、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.当k0时，直线y=kx经过一、三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．解析式：y=kx（k是常数，k≠0）必过点：（0，0）、（1，k）走向：k0时，图像经过一、三象限；k0时，图像经过二、四象限增减性：k0，y随x的增大而增大；k0，y随x增大而减小倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴2.函数y=－7x的图象在第_________象限内,经过点()与点(),y随x的增大而__________.二、四0，01,－7减小3.正比例函数y=(k+1)x的图象中y随x的增大而增大，则k的取值范围是____________.k＞-14.正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（）A.m=1B.m＞1C.m＜1D.m≥1B1.若y=5x3m-2是正比例函数，则m=.1八、一次函数及性质一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k≠0)（2）必过点：（0，b）和（-，0）（3）走向:k0b0直线经过第一、二、三象限k0b0直线经过第一、三、四象限K0b0直线经过第一、二、四象限K0b0直线经过第二、三、四象限（4）增减性：k0，y随x的增大而增大；k0，y随x增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移：当b0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.kb九、一次函数与正比例函数的图象与性质练习：1、若关于x的函数是一次函数，则m=n=.2、函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）1(1)mynxABCD3、将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线.4、若直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为(m,8),则a+b=________.5、已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）Ａ．3m+1Ｂ．3mＣ．mＤ．3m－1十.怎样画一次函数y=kx+b的图象？1、两点法y=x+12、平移法十二、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两直线平行：k1=k2且b1≠b2（2）两直线相交：k1≠k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2十一、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b0时，向上平移；当b0时，向下平移）.（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.十四、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：应用新知例1（1）若y=5x3m-2是正比例函数，m=。（2）若是正比例函数，m=。32)2(mxmy1-2１、直线y=kx+b经过一、二、四象限，则K0,b0．＜＞此时，直线y=bx＋k的图象只能是()D练习：２、已知直线y=kx+b平行于直线y=-2x，且与y轴交于点（０，－２），则k=___,b=___.此时，直线y=kx+b可以由直线y=-2x经过怎样平移得到？-2-2练习：３.若一次函数y=x+b的图象过点A（1，-1），则b=__________。-2４.根据如图所示的条件，求直线的表达式。练习：５、柴油机在工作时油箱中的余油量Q(千克）与工作时间t（小时）成一次函数关系，当工作开始时油箱中有油40千克，工作3.5小时后，油箱中余油22.5千克（1）写出余油量Q与时间t的函数关系式.解：（１）设所求函数关系式为：Ｑ＝kt＋b。把t=0，Q=40；t=3.5，Q=22.5分别代入上式，得bkb5.35.2240解得405bk解析式为：Q＝－５t+40(0≤t≤8)（2）画出这个函数的图象。（２）取t=0，得Q=40；取t=８，得Q=０描出点Ａ（０，40），B（8，0）。然后连成线段AB即是所求的图形。.204080tQ.AB图象是包括两端点的线段Q＝－５t+40(0≤t≤8)６、某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后。（1）服药后______时，血液中含药量最高，达到每毫升_______毫克，接着逐步衰弱。（2）服药5时，血液中含药量为每毫升____毫克。（3）当x≤2时y与x之间的函数关系式是___________。（4）当x≥2时y与x之间的函数关系式是___________。（5）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是___时。x/时y/毫克6325O２６３y=3xy=-x+841.已知y+1与x-2成正比例,当x=3时,y=-3,(1)求y与x的函数关系式;(2)画出这个函数图象;(3)求图象与坐标轴围成的三角形面积;(4)当-1≤x≤4时,求y的取值范围;注意点:(1)函数表达形式要化简;(2)第(4)小题解法:①代数法②图象法知识点:(1)正比例函数与一次函数的关系;(2)一次函数图象的画法;(3)一次函数图象与坐标轴交点坐标求法1.已知一次函数y=(m-4)x+3-m,当m为何值时,(1)Y随x值增大而减小;(2)直线过原点;(3)直线与直线y=-2x平行;(4)直线不经过第一象限;(5)直线与x轴交于点(2,0)(6)直线与y轴交于点(0,-1)(7)直线与直线y=2x-4交于点(a,2)mm＜4m=23≤m＜4m=3m=5m=-4m=5.52．已知正比例函数y=kx（k≠0）的函数值随的增大而增大，则一次函数y=kx+k的图象大致是（）OxyOxyOxyyxOＡ．B．C．Ｄ．A1．某农户种植一种经济作物，总用水量y（米3）与种植时间x（天）之间的函数关系式如图．（1）第20天的总用水量为多少米？（2）求y与x之间的函数关系式．（3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？O(天)y（米3）400010003020x注意点:(1)从函数图象中获取信息(2)根据信息求函数解析式3.三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇,甲队先出发,从部队基地到该小镇只有唯一通道,且路程为24km.如图是他们行走的路程关于时间的函数图象,四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4甲队到达小镇用了6小时，途中停顿了1小时甲队比乙队早出发2小时，但他们同时到达乙队出发2.5小时后追上甲队乙队到达小镇用了4小时，平均速度是6km/h4.5123456时间（h）24012路程（km）4.5D2．“5．12”汶川地震发生后，某天广安先后有两批自愿者救援队分别乘客车和出租车沿相同路线从广安赶往重灾区平武救援，下图表示其行驶过程中路程随时间的变化图象．（1）根据图象，请分别写出客车和出租车行驶过程中路程与时间之间的函数关系式（不写出自变量的取值范围）；（2）写出客车和出租车行驶的速度分别是多少？（3）试求出出租车出发后多长时间赶上客车？12345x（小时）y(千米)20015010050O出租车客车1.如图，在边长为的正方形ABCD的一边BC上，有一点P从点B运动到点C，设BP=X，四边形APCD的面积为y。（1）写出y与x之间的关系式，并画出它的图象。（2）当x为何值时，四边形APCD的面积等于3/2。2ABCDP2．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，(1)求△ABC的面积;(2)求y关于x的函数解析式;yxO49图2C图1ABDPBC=4AB=510(2)y=2.5x(0＜x≤4)y=10(4＜x≤9)13y=-2.5x+32.5(9＜x＜13)(3)当△ABP的面积为5时,求x的值X=2X=111．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是()A．B．C．D.012302yxyx0123012yxyx0523012yxyx02012yxyxP（1，1）11233－1O2yx-1D2．如图，已知函数y=