各向异性屈服条件和流动理论

45各向异性材料的屈服条件和流动理论一各向异性材料的初始屈服对于各向异性材料，其初始屈服条件需用下列一般形式的屈服函数来表示：12(,,,,,;,,......)0xyzxyyzzxnfccc（1）式中12,,......nccc为与材料性质相关的参数。取应力分量的二次齐次式作为屈服函数，从而将式（1）表示成2111213141516()ijxxyxzxyzxzxxxyfKKKKKK2222324......yyzyyzKKK233......zK.........266xyKconst46（2）上式共包含21个独立系数。现考虑正交异性材料，设材料性质对称于x、y、z轴，显然，当坐标轴转至相反方向时（即旋转180°），例如，将x、y、z坐标系转换到、、坐标系，=x、=y、=-z，则屈服函数()ijf应该不变。因为，对于、、坐标系，应力分量为,x,y,z,xy,yz,zx根据()ijf保持不变的条件，由（2）得14152425343546560KKKKKKKK同样的，如果取,x,y,z47以及,x,y,z则可进一步得到162636460KKKK可见，对于各向异性材料，（2）中的独立系数由21个减少至9个，从而该式可写成：222222112233445566()ijxyzyzzxxyfKKKKKK122313xyyzxzKKKconst（3）如果屈服函数不受各向等压力（-p）（球量）的影响，那么，我们可以用()xp、()yp、()zp来代替方程（3）中的x、y、z，而等式仍然成立。进行这一替换后，式中就会出现p和2p的项。由于p的大小是完全任意的，48所以式中p与2p的系数应当为零，由此可得出下列三个关系式：111213221223332313202020KKKKKKKKK或写成1112132212233323131()21()21()2KKKKKKKKK（4）将（4）代入（3），并令23FK13GK12HK44LK55MK66NK（5）可得492222()()()2yzzxxyyzFGHL2222zxxyMNconst如将等号右边的常数移到等号左边，使之包含在各系数中，则上式可写成222222()()()2221yzzxxyyzzxxyFGHLMN（6）上式共包含六个独立的材料常数。设材料的性质对称于应力主轴，并使坐标轴与应力主方向一致，这时剪应力分量应当为零，方程（6）可写作22233112()()()1zFGH（7）若1Y、2Y、3Y分别为沿1、2、3方向的拉伸屈服压力，则由（7）式可得22211(00)(0)(0)1FGYHY即50211GHY（8a）同理可得221HFY（8b）231FGY（8c）由此可得222231222312222123111211121112FYYYGYYYHYYY51（9）显然，F、G、H之中只有一个可以为负值[因为(8a、b、c)等号右边恒为正值],并且由(9)式可以看出,只有当各屈服应力相差很大时,这才有可能,同时,只有当12YY时,才有FG,同样道理,对于G~H和H~F也有类似的不等式。对于各向同性材料,因123YYY,故有F=G=H，这时（7）式便与各向同性Mises条件完全一致.设R、S、T为相对于各向异性主轴的剪切屈服应力，则由（6）式得222121212LRMSNT(10)52由此可见，L、M、N恒为正值。要完全描述一单元体中的各向异性状态，就需要知道各主轴的方位及六个相互独立的屈服应力1Y、2Y、3Y、R、S、T的值。如果为平面应力，这时，（7）式可写成2222211122(2)1FGH即221212()()21GHFHH利用（8），上式可写成21212121212()()2(.)1HYYYYYY（11）若屈服应力与相等，则上式又可写成22212122()1RYR（12）53式中232()1YHRGY（13）二应力与应变增量间的关系以各向同性材料的塑性势流动论作类比，可取方程（6）中的()ijf为塑性势。于是应变增量可由()ijf对ij的偏微分导出。因22()()()()ijyzzxxyfFGH222222yzzxxyLMN由()ijpjijfdd可得[()()][()()][()()]pxxyxzpyyzyxpzzxzyddHGddHGddHG54pyzyzpzxzxpxyxyddLddMddN（14）上述表示式同时满足不可压缩条件0pppxyzddd当弹性应变增量与塑性应变增量相比为很小时，上标可以省略。由（14）式可以看出，如果应力反向的话，应变增量也就反向；如果应力主轴和各向异性材料的对称轴重合，那么应变增量的主轴也和各向异性的对称轴相重合，否则，应力和应变增量的主轴一般说来是不相重合的。进行各向异性材料的力学性能实验，要求实验的材料在足够大的体积内，各向异性的分布式均匀的，使之能够在其中的任意方向上割出一条拉伸试件来。设沿平行于各向异性轴（令为x轴）割出55一长条试件，并沿轴作用一拉力，则由（14）可知，此时其应变增量间的比例为::():():()xyzdddGHHG（15）可见，在一般情况下y、z方向上的应变是收缩的，但是当屈服应力的差值很大，以至于G或F中有一个为负值时（例如，根据式（9），当1Y和2Y均大于32Y时，H便为负值），则yd、zd中便有一个为正值。此外，由（15）可以看出，如果HG，也就是说,32YY，则在2Y方向的收缩是较大的。换言之，在屈服应力较大的方向上应变较小。根据x方向的拉伸试验，通过测量应变比值，可以得出比值()HG。同样，根据y和z方向的拉伸试验，可以得出比值()GF和()FH。原则56上说来，根据恒等式()()()1HGFGFH，便可以验证上述理论。