2013年高考文科数学浙江卷word解析版

2013年高考文科数学浙江卷word解析版1/82013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(浙江卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013浙江，文1)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝()．A．[－4，＋∞)B．(－2，＋∞)C．[－4,1]D．(－2,1]答案：D解析：集合S与集合T都表示连续的实数集，此类集合的运算可通过数轴直观表示出来.，故S∩T＝{x|－2＜x≤1}，故选D.2．(2013浙江，文2)已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝()．A．5－5iB．7－5iC．5＋5iD．7＋5i答案：C解析：(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2，因为i2＝－1，所以(2＋i)(3＋i)＝5＋5i，故选C.3．(2013浙江，文3)若α∈R，则“α＝0”是sinα＜cosα”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：当α＝0时，sinα＜cosα成立；若sinα＜cosα，α可取π6等值，所以“α＝0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．故选A.4．(2013浙江，文4)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()．A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β答案：C解析：A选项中直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B选项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D选项中，m也可能平行于β.故选C.5．(2013浙江，文5)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()．A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3答案：B2013年高考文科数学浙江卷word解析版2/8解析：由三视图可知，该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥，故几何体的体积是6×3×6－13×12×3×42＝100(cm3)．故选B.6．(2013浙江，文6)函数f(x)＝sinxcosx＋32cos2x的最小正周期和振幅分别是()．A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2答案：A解析：由y＝sinxcosx＋32cos2x＝12sin2x＋32cos2x＝πsin23x，因为ω＝2，所以T＝2π＝π，又观察f(x)可知振幅为1，故选A.7．(2013浙江，文7)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)＞f(1)，则()．A．a＞0,4a＋b＝0B．a＜0,4a＋b＝0C．a＞0,2a＋b＝0D．a＜0,2a＋b＝0答案：A解析：由f(0)＝f(4)知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝2，即22ba.所以4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知a＞0，故选A.8．(2013浙江，文8)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是()．2013年高考文科数学浙江卷word解析版3/8答案：B解析：由导函数图象知，函数f(x)在[－1,1]上为增函数．当x∈(－1,0)时f′(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x∈(0,1)时f′(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B.9．(2013浙江，文9)如图，F1，F2是椭圆C1：24x＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()．A．2B．3C．32D．62答案：D解析：椭圆C1中，|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝23.又四边形AF1BF2为矩形，∴∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，∴|AF1|＝22，|AF2|＝22，∴双曲线C2中，2c＝23，2a＝|AF2|－|AF1|＝22，故3622e，故选D.10．(2013浙江，文10)设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝,,,,aabbaba∨b＝,,,.babaab若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则()．A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2答案：C解析：由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨”为两数中取大，由ab≥4知，正数a，b中至少有一个大于等于2.由c＋d≤4知，c，d中至少有一个小于等于2，故选C.非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．(2013浙江，文11)已知函数f(x)＝1x.若f(a)＝3，则实数a＝__________.答案：10解析：由f(a)＝1a＝3，得a－1＝9，故a＝10.12．(2013浙江，文12)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于__________．答案：15解析：从3男，3女中任选两名，共有15种基本情况，而从3女中任选2名女同学，则有3种基本情况，故所求事件的概率为31155.13．(2013浙江，文13)直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于__________．答案：45解析：圆的圆心为(3,4)，半径是5，圆心到直线的距离22|2343|521d，可知弦长2013年高考文科数学浙江卷word解析版4/82225545l.14．(2013浙江，文14)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于__________．答案：95解析：该程序框图为循环结构．当k＝1时，S＝1＋112＝32；当k＝2时，3152233S；当k＝3时，5173344S；当k＝4时，7194455S，循环结束，输出95S.15．(2013浙江，文15)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足2,240,240.xxyxy若z的最大值为12，则实数k＝__________.答案：2解析：满足条件2,240,240xxyxy的区域D如图阴影部分所示，且A(2,3)，B(4,4)，C(2,0)．作直线l0：y＝－kx，当k＞0时，y＝－kx为减函数，在B处z最大，此时k＝2；当k＜0时，y＝－kx为增函数，当－k∈10,2时，在B处z取最大值，此时k＝2(舍去)；当－k＞12时，在A处取得最大值，92k(舍去)，故k＝2.2013年高考文科数学浙江卷word解析版5/816．(2013浙江，文16)设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4－x3＋ax＋b≤(x2－1)2，则ab＝__________.答案：－1解析：令x＝1，得0≤1－1＋a＋b≤0，整理，得a＋b＝0，①令x＝－1，得0≤1－(－1)－a＋b≤0，整理，得a－b＝2，②解①②组成的方程组，得1,1.ab∴ab＝－1.17．(2013浙江，文17)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为π6，则||||xb的最大值等于__________．答案：2解析：因为b≠0，所以b＝xe1＋ye2，x≠0，y≠0.又|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋3xy，2222222||1||331xxyyxyxyxxb，不妨设ytx，则222||1||31xttb，当32t时，t2＋3t＋1取得最小值14，此时22||||xb取得最大值，所以||||xb的最大值为2.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(2013浙江，文18)(本题满分14分)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．解：(1)由2asinB＝3b及正弦定理sinsinabAB，得sinA＝32.因为A是锐角，所以π3A.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以283bc.由三角形面积公式S＝12bcsinA，得△ABC的面积为733.19．(2013浙江，文19)(本题满分14分)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求d，an；2013年高考文科数学浙江卷word解析版6/8(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.解：(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn，因为d＜0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝212122nn.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝212122nn＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝22121,11,22121110,12.22nnnnnn20．(2013浙江，文20)(本题满分15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝7，PA＝3，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．(1)证明：BD⊥平面APC；(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；(3)若G满足PC⊥平面BGD，求PGGC的值．解：(1)设点O为AC，BD的交点．由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．所以O为AC的中点，BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD.所以BD⊥平面APC.(2)连结OG.由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．由题意得OG＝12PA＝32.在△ABC中，AC＝222cosABBCABBCABC2013年高考文科数学浙江卷word解析版7/8＝23，所以OC＝12AC＝3.在直角△OCD中，OD＝22CDOC＝2.在直角△OGD中，tan∠OGD＝433ODOG.所以DG与平面APC所成的角的正切值为433.(3)连结OG.因为PC⊥平面BGD，OG平面BGD，所以PC⊥OG.在直角△PAC中，得PC＝15.所以GC＝2155ACOCPC.从而PG＝3155，所以32PGGC.21．(2013浙江，文21)(本题满分15分)已知a∈R，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|＞1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．解：(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2－12x＋6，所以f′(2)＝6.又因为f(2)＝4，所以切线方程为y＝6x－8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)．令f′(x)＝0，得到x1＝1，x2＝a.当a＞1时，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af′(x)＋0－0＋f(x)0单调递增极大值3a－1单调递减极小值a2(3－a)单调递增4a3比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可得g(a)＝20,13,3,3.aaaa当a＜－1时，x0(0,1)1(1，－2a)－2af′(x)－0＋f(x)0单调递减极小值3a－1单调递增－28