全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析（含答案）一、极坐标1.（2015年1卷）在直角坐标系xOy中，直线1C:x=2，圆2C：22121xy,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C，2C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N,求2CMN的面积.【解析】：（Ⅰ）因为cos,sinxy，∴1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4sin40.……5分（Ⅱ）将=4代入22cos4sin40，得23240，解得1=22，2=2，|MN|=1－2=2，因为2C的半径为1，则2CMN的面积o121sin452=12.1.（2015年2卷）在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,xtCyt(t为参数,且t≠0),其中0≤απ,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标.(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立xyyxyx，解得xy，或xy.2C与3C交点的直角坐标为(,)和(,).(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤απ.因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4|sin(α-)|.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.3.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos4．（1）M为曲线1C上的动点，点P在线段OM上，且满足16OMOP，求点P的轨迹2C的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为2,3，点B在曲线2C上，求OAB△面积的最大值．解析（1）设00MP，，，，则0||OMOP，．由000016cos4，解得4cos，化直角坐标方程为2224xy0x.（2）联结AC，易知AOC△为正三角形，||OA为定值．所以当高最大时，AOB△的面积最大，如图所示，过圆心C作AO垂线，交AO于点H，交圆C于B点，此时AOBS△最大，max1||||2SAOHB12AOHCBC32.二、参数方程yxHC(2,0)BA(2,?3)O1.（2016年3卷）在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x3cosαysinα(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsinπθ4=22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【解析】(1)由x3cosαysinα得2x3+y2=1.因为ρsinπθ4=12ρsinθ+12ρcosθ=22,所以x+y=4.所以C1的普通方程为2x3+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y=4.(2)由题意,可设点P的直角坐标为3cosα,sinα,因为C2是直线,所以PQ的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)=3cosαsinα4π2sinα232.当且仅当α=2kπ+π6(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标为31,225.（2017年1卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cossinxy（为参数），直线l的参数方程为41xattyt为参数.（1）若1a，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.解析（1）当1a时，直线l的方程为430xy，曲线C的标准方程为2219xy.联立方程2243019xyxy，解得30xy或21252425xy，则C与l交点坐标是30，和21242525，.（2）直线l一般式方程为440xya，设曲线C上点3cossinp，．则点P到l的距离5sin43cos4sin41717aad，其中3tan4．依题意得max17d，解得16a或8a.三、普通方程（2016年1卷）在直线坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为xacost,y1asint(t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程.(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(1)xacost,y1asint(t为参数),所以x2+(y-1)2=a2.①所以C1为以(0,1)为圆心,a为半径的圆.方程为x2+y2-2y+1-a2=0.因为x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,所以ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,即为C1的极坐标方程.(2)C2:ρ=4cosθ,两边同乘ρ,得ρ2=4ρcosθ,∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,∴x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.②C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3.①-②得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,所以1-a2=0,所以a=1.（2016年2卷）在直线坐标系xOy中，圆C的方程为22625xy．（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（II）直线l的参数方程是cossinxtyt（t为参数），l与C交于A、B两点，10AB，求l的斜率．【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110xy，由222cossinxyxy可知圆C的极坐标方程为212cos110．⑵记直线的斜率为k，则直线的方程为0kxy，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk，即22369014kk，整理得253k，则153k．6.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系xOy中，直线1l的参数方程为2+xtykt（t为参数），直线2l的参数方程为2xmmmyk（为参数）．设1l与2l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3cossin20l：，M为3l与C的交点，求M的极径．6．解析⑴将参数方程转化为一般方程1:2lykx①21:2lyxk②①②，消k可得224xy，即点P的轨迹方程为224xy0y.⑵将极坐标方程转化为一般方程3:20lxy，联立22204xyxy，解得32222xy.由cossinxy，解得5，即M的极半径是5．