高等激光物理-3

Ch3M-B方程理论•3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论•3.2M-B方程•3.3行波的M-B方程•3.4驻波M-B方程•3.5Haken方程•3.6单模均匀加宽行M-B方程高等激光物理陈历学2007年3月Ch3M-B方程理论高等激光物理陈历学2007年3月本章将建立半经典激光理论的基本框架。激光器以及激光与物质相互作用为基础的。激光理论就是讨论激光和物质的相互作用。半经典激光理论的基本方程就是Maxwell-Bloch方程。建立在下述基本理论框架下：•半经典激光理论把光场看成经典的电磁波，基本的光场描述就是Maxwell方程。•半经典激光理论把原子看成量子化的，用量子力学描述。•光与原子作用时，原子的量子力学行为可用密度矩阵方法很方便地描述。由此得到的描述原子的基本方程就是光学Bloch方程。高等激光物理陈历学2007年3月一、二能级原子模型1、原子之间没有直接作用2、二能级近似二、电偶极近似三、纯系统与混合系统-(1).纯系综(2)混合系统四、纯系统的密度矩阵(1).纯系统的密度矩阵(2).力学量算符的平均值(3).密度矩阵元的物理意义(4).密度矩阵的狄拉克形式(5).密度矩阵元的运动方程五、混合系统的密度矩阵[实例]计算热平衡辐射的平均光子数3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论一、二能级原子模型高等激光物理陈历学2007年3月1、原子之间没有直接作用由于激活原子的密度比较低，在激光理论中忽略原子之间的直接作用是较合理的近似。原子之间的碰撞相互作用归入原子的驰豫或衰减中。但是各个原子都与同一个光场耦合，原子之间的这种间接作用，在一定条件下会导致原子的集体效应。但这并非原子间的直接相互作用。2、二能级近似虽然实际的原子、分子等都有许多能级，在激光器中，只有与放光直接有关的上、下能级才与光发生主要作用。泵浦作用和衰减作用，主要提供初始条件(初始的反转粒子数)。用光与二能级原子作用作为基本模型，既简捷又能反映问题的本质。3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论一、二能级原子模型高等激光物理陈历学2007年3月Fig3-1:光与二能级原子相互作用模型。3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论一、二能级原子模型高等激光物理陈历学2007年3月无相互作用时原子的自由哈密顿H0的本征方程为写成矩阵表示为：原子的跃迁频率为：3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论二、电偶极近似高等激光物理陈历学2007年3月在研究光的吸收、自发辐射和受激辐射等问题时，电偶极近似是很好的近似。但要特别注意，处理多光子问题时可能出现问题，所以最好用A(x;t)直接计算相互作用。光和二能级原子相互作用时的哈密顿包括自由哈密顿和相互作用部分:式中,V是光场与二能级原子的电偶极矩的相互作用，表示为：3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论二、电偶极近似高等激光物理陈历学2007年3月二能级原子作用的哈密顿量是再假定原子没有固有偶极矩(非极性的原子或分子)，必有3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论三、纯系统与混合系统-(1).纯系综高等激光物理陈历学2007年3月(2).混合系综3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论四、纯系统的密度矩阵(1).纯系统的密度矩阵高等激光物理陈历学2007年3月对一个纯系统引入的密度矩阵，称为纯系综的密度矩阵。(3.1.1)式中的矩阵元分别为写成矩阵形式有：3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论(2).力学量算符的平均值高等激光物理陈历学2007年3月力学量算符的矩阵形式为3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论(3).密度矩阵元的物理意义高等激光物理陈历学2007年3月其平均值为：3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论(3).密度矩阵元的物理意义高等激光物理陈历学2007年3月归结上述讨论，我们可以将密度矩阵的对角元的物理意义总结如下：3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论(4).密度矩阵的狄拉克形式高等激光物理陈历学2007年3月我们计算由此可以导出密度矩阵的狄拉克形式我们还可以导出密度矩阵元的另一个重要性质：(3.1.26)3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论(5).密度矩阵元的运动方程高等激光物理陈历学2007年3月由薛定格方程：和密度矩阵的狄拉克形式，可以得到密度矩阵的运动方程：写成泊松括号的形式为这样，密度矩阵矩阵元的运动方程可以直接写出为：3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论五、混合系统的密度矩阵高等激光物理陈历学2007年3月混合系综的密度矩阵定义例如，对于二能级系统，有N个原子，第j个原子的态矢量是则对应的密度矩阵为用混合系综的密度矩阵求乎均值的公式以及运动方程，在形式上与纯系综的情况相似3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论五、混合系统的密度矩阵高等激光物理陈历学2007年3月利用混合系综的P的定义(3.1.17)式，则混合系综的密度矩阵的运动方程也可由薛定格方程得到(3.1.36)3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论[实例]计算热平衡辐射的平均光子数高等激光物理陈历学2007年3月光子数N的几率由Boltziman给出：所以密度矩阵是(3.1.39)(3.1.40)3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论[实例]计算热平衡辐射的平均光子数高等激光物理陈历学2007年3月其中3.1光与二能级原子相互作用系统的密度矩阵理论五、混合系统的密度矩阵高等激光物理陈历学2007年3月将上式代入到(3.1.26)式中得到(3.1.26)这正是熟知的结果。在激光全量子理论还要用到混合系综的密度矩阵。3.2光学Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月将密度矩阵用于光与二能级原子的作用，可以得到光学Bloch方程．这是研究激光理论的基本方程。本节求出光学Bloch方程，以下二节再利用旋转波近似和慢变振幅近似简化，并给出光学Bloch方程的矢量形式。一、无衰减的光学Bloch方程二、考虑衰减过程的光学Bloch方程三、旋转波近似下的Bloch方程四、慢变化振幅近似下的Bloch方程五、光学Bloch方程六、光学Bloch方程的矢量形式七、光学Bloch方程矢量模型的物理意义3.2光学Bloch方程一、无衰减的光学Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月对于二能级原子，根据密度矩阵元的运动方程(3.1.15)，可得到式中的各个物理量为：将密度矩阵用于光与二能级原子的作用，可以得到光学Bloch方程．这是研究激光理论的基本方程。本节求出光学Bloch方程，以下二节再利用旋转波近似和慢变振幅近似简化，并给出光学Bloch方程的矢量形式。3.2光学Bloch方程一、无衰减的光学Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月上式就是没有考虑原子的衰减过程的光学Bloch方程。将上述物理量代入到密度矩阵的运动方程(3.2.1)中，可以得到各个矩阵元的运动方程为：3.2光学Bloch方程二、考虑衰减过程的光学Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月从上式可以看到，由于原子的衰减，也会导致原子的电偶极矩的衰减。由第二章我们知到，电偶极矩的衰减(即类似电偶极振子衰减)必然使辐射的谱线有一定的线宽。3.2光学Bloch方程二、考虑衰减过程的光学Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月(3.2.6)3.2光学Bloch方程二、考虑衰减过程的光学Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月(3.2.8)3.2光学Bloch方程二、考虑衰减过程的光学Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月(3.2.11)3.2光学Bloch方程三、旋转波近似下的Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月本节将用慢变化包络近似和旋转波近似来进一步简化前面推导的密度矩阵元的运动方程。(1).旋转波近似3.2光学Bloch方程三、旋转波近似下的Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程三、旋转波近似下的光学Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程三、旋转波近似下的Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月在光场为零的情况下，上述非对角矩阵元的运动方程可以简化为：上述方程的解为：3.2光学Bloch方程三、旋转波近似下的Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程四、慢变化振幅近似下的Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月(1).慢变化振幅近似3.2光学Bloch方程四、慢变化振幅近似下的Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月(2).慢变化振幅包络近似下的光学Bloch方程3.2光学Bloch方程四、慢变化振幅近似下的Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程五、光学Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程五、光学Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程五、光学Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程五、光学Bloch方程高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程六、光学Bloch方程的矢量形式高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程六、光学Bloch方程的矢量形式高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程六、光学Bloch方程的矢量形式高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程七、光学Bloch方程矢量模型的物理意义高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程七、光学Bloch方程矢量模型的物理意义高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程七、光学Bloch方程矢量模型的物理意义高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程七、光学Bloch方程的定态解高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程七、光学Bloch方程矢量模型的物理意义高等激光物理陈历学2007年3月3.2光学Bloch方程七、光学Bloch方程矢量模型的物理意义高等激光物理陈历学2007年3月3.3光和二能级原子相互作用系统的M-B方程一、二能级原子和光场的相互作用高等激光物理陈历学2007年3月(1)、二能级原子和光场的相互作用3.3光和二能级原子相互作用系统的M-B方程一、二能级原子和光场的相互作用高等激光物理陈历学2007年3月3.3光和二能级原子相互作用系统的M-B方程一、二能级原子和光场的相互作用高等激光物理陈历学2007年3月3.3光和二能级原子相互作用系统的M-B方程一、二能级原子和光场的相互作用高等激光物理陈历学2007年3月(2)、原子的电偶极矩方程(3.2.7)3.3光和二能级原子相互作用系统的M-B方程一、二能级原子和光场的相互作用高等激光物理陈历学2007年3月3.3光和二能级原子相互作用系统的M-B方程一、二能级原子和光场的相互作用高等激光物理陈历学2007年3月3.3光和二能级原子相互作用系统的M-B方程一、二能级原子和光场的相互作用高等激光物理陈历学2007年3月3.3光和二能级原子相互作用系统的M-B方程一、二能级原子和光场的相互作用高等激光物理陈历学2007年3月3.3光和二能级原子相互作用系统的M-B方程一、二能级原子和光场的相互作用高等激光物理陈历学2007年3月(3)、原子分布几率反转方程3.3光和二能级原子相互作用系统的M-B方程二、二能级原子和光相互作用的M-B方程高等激光物理陈历学2007年3月（1）、二能级原子和光相互作用的M-B方程3.3光和二能级原子相互作用系统的M-B方程二、二能级原子和光相互作用的M-B方程高等激光物理陈历学2007年3月3.3光和二能级原子相互作用系统的M-B方程二、二能级原子和光相互作用的M-B方程高等激光物理陈历学2007年3月（2）、宏观量的M-B方程3.3光和二能级原子相