2018届甘肃省兰州市高三一模数学试题(文)

第1页2018届甘肃省兰州市高三一模数学试题（文）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分1.设全集UR，集合{|0}Mxx，集合2{|1}Nxx，则()UMCN（）A．(0,1)B．[0,1]C．[1,)D．(1,)2.已知复数512zi（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A．复数z的实部为5B．复数z的虚部为12iC．复数z的共轭复数为512iD．复数z的模为133.已知数列{}na为等比数列，且2264aaa，则35aa（）A．4B．3C．2D．434.若双曲线2214xy的两条渐近线分别与抛物线22(0)xpyp的准线交于A，B两点，O为坐标原点.若OAB的面积为1，则p的值为（）A．1B．2C．22D．45.已知圆C：2216xy，直线l：yx，则圆C上任取一点A到直线l的距离大于2的概率是（）A．34B．23C．12D．136.已知直线3430xy与直线6140xmy平行，则它们之间的距离是（）A．2B．8C．175D．17107.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A．1008B．2017C．2018D．30258.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A．4B．3C．3D．32第2页9.设p：实数x，y满足22(1)(1)1xy，q：实数x，y满足111xyxyy，则p是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要的条件10.若等比数列{}na的前n项和为*2()nnSabnN，其中a，b是常数，则ab的值为（）A．3B．2C．1D．011.抛物线24yx的焦点为F，11(,)Axy，22(,)Bxy是抛物线上两动点，若123(2)2ABxx，则AFB的最大值为（）A．23B．56C．34D．312.已知函数()yfx是定义在R上的偶函数，且当0x时，不等式()'()0fxxfx成立，若0.20.23(3)af，(log2)(log2)bf，2211(log)(log)44cf，则a，b，c之间的大小关系为（）A．acbB．cabC．cbaD．bac二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin()45，则cos()4．14.已知样本数据1a，2a，……2018a的方差是4，如果有2iiba(1,2,,2018)i，那么数据1b，2b，……2018b的均方差为．15.设函数()sin(2)fxx()2向左平移3个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则．16.若向量(,1)amn，(,1)(0,0)bnmn，且ab，则14nm的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos2,sin2)axx，(3,1)b，函数()fxabm.（1）求()fx的最小正周期；（2）当[0,]2x时，()fx的最小值为5，求m的值.第3页18.如图所示，矩形ABCD中，ACBDG，AD平面ABE，2AEEBBC，F为CE上的点，且BF平面ACE.（1）求证：AE平面BCE；（2）求三棱锥CBGF的体积.19.交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市1565岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果如图表所示：分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15,25)50.5第2组[15,35)a0.9第3组[15,45)27x第4组[15,55)b0.36第5组[15,65)3y（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的2人中至少有一个第2组的人的概率.第4页20.已知圆C：22(1)8xy，过(1,0)D且与圆C相切的动圆圆心为P.（1）求点P的轨迹E的方程；（2）设过点C的直线1l交曲线E于Q，S两点，过点D的直线2l交曲线E于R，T两点，且12ll，垂足为W（Q，R，S，T为不同的四个点）.①设00(,)Wxy，证明：220012xy；②求四边形QRST的面积的最小值.21.已知函数321()3fxxaxbx(,)abR.（1）若()yfx图象上11(1,)3处的切线的斜率为4，求()yfx的极大值；（2）()yfx在区间[1,2]上是单调递减函数，求ab的最小值.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是222422xtyt（t是参数），圆C的极坐标方程为2cos()4.（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，并切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲]设函数()2fxxax，其中0a.（1）当2a时，求不等式()21fxx的解集；（2）若(2,)x时，恒有()0fx，求a的取值范围.第5页兰州市2018年高三诊断考试数学（文科）试题参考答案及评分参考一、选择题1-5:DDCBB6-10:AABCD11、12：AC二、填空题13.2514.415.316.9三、解答题17.解：（1）由题意知：()cos(2,sin2)fxxx(3,1)m3cos2sin2xxm2sin(2)3xm，所以()fx的最小正周期为T.（2）由（1）知：()2sin(2)3fxxm，当[0,]2x时，42[,]333x.所以当4233x时，()fx的最小值为3m.又∵()fx的最小值为5，∴35m，即53m.18.解：（1）因为AD面ABE，所以ADAE，又//BCAD，所以BCAE.因为BF面ACE，所以BFAE.又BCBFB，所以AE面BCF，即AE平面BCE.（2）因为2AEEBBC，所以22EC，2BF，2CF，又因为G为AC中点，所以1GF.因为AE面BCE，所以GF面BCE.所以CBGFGBCFVV111122323.19.解：（1）第1组人数50.510，所以100.1100n，第2组人数1000.220，所以200.918a，第3组人数1000.330，所以27300.9x，第4组人数1000.2525，所以250.369b，第5组人数1000.1515，所以3150.2y.（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:92:3:1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人.（3）记抽取的6人中，第2组的记为1a，2a，第3组的记为1b，2b，3b，第4组的记为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，他们是：12(,)aa，11(,)ab，12(,)ab，13(,)ab，1(,)ac，21(,)ab，22(,)ab，23(,)ab，2(,)ac，12(,)bb，13(,)bb，1(,)bc，23(,)bb，2(,)bc，3(,)bc.其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：第6页12(,)aa，11(,)ab，12(,)ab，13(,)ab，1(,)ac，21(,)ab，22(,)ab，23(,)ab，2(,)ac.故所求概率为93155.20.解：（1）设动圆半径为r，则22PCr，PDr，22PCPD2CD，由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，其方程为2212xy.（2）①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，则有22001xy，又因Q，R，S，T为不同的四个点，220012xy.②解：若1l或2l的斜率不存在，四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率存在，设1l的斜率为1k，则1l的方程为1(1)ykx，解方程组122(1)12ykxxy，得222(21)4kxkx2220k，则2212221kQSk，同理得221222kRTk，∴12QSRTSQSRT2222(1)4(21)(2)kkk2222(1)49(1)4kk169，当且仅当22212kk，即1k时等号成立.综上所述，当1k时，四边形QRST的面积取得最小值为169.21.解：（1）∵321()3fxxaxbx，∴2'()2fxxaxb，由题意得'(1)4f且11(1)3f，即12411133abab，解之得1a，3b.∴321()33fxxxx，'()(1)(3)fxxx，令'()0fx得11x，23x，列表可得x(,1)1(1,3)3(3,)'()fx+0-0+()fx极大值53极小值9第7页∴当1x时，()fx取极大值53.（2）∵(0yfx在[1,2]上是减函数，∴2'()20fxxaxb在[1,2]上恒成立，∴'(1)0'(2)0ff120440abab，即210440abab，作出不等式组表示的平面区域如图当直线zab经过点1(,2)2P时，zab取最小值32.22.解：（1）∵2cos2sin，∴22cos2sin，∴圆C的直角坐标方程为22220xyxy，即2222()()122xy，∴圆心直角坐标为22(,)22.（2）方法1：直线l上的点向圆C引切线长是222222()(42)12222tt2840tt2(4)2426t，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是26.方法2：直线l的普通方程为420xy，∴圆心C到直线l距离是22|42|2252，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是225126.23.解：（1）当2a时，2221xxx，所以21x，所以3x或1x，解集为(,1][3,).（2）3,(),xaxafxxaxa，因为0a，∴xa时，320xaa恒成立，又xa时，当2x时，2xaa，∴只需20a即可，所以2a.