2019年兰州市高三第二次诊断考试(文科数学)解析

2019兰州市高三实战模拟考试文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足21zi（其中i是为虚数单位），则z（D）A.1B.2C.3D.5解析：因为21zi，所以12zi，所以5z，故选D2.已知集合24≤Axx＜，0Bxx＞，则AB∩（A）A.(0,4]B.(0,2]C.(2,0)D.(2,)解析：240(0,4]≤ABxxxx∩＜∩＞，故选A3.函数2()xxeefxx的大致图象为（A）解析：因为()()fxfx，故排除,CD，又因为()0fx＞，故排B，所以选A.4.已知向量,ab满足1a，2b，()(2)8abab，则a与b的夹角为（B）A.2B.3C.4D.6解析：因为()(2)8abab，所以2228abab，所以1ab，所以1cos,2ababab，所以,3ab，故选B5.盒中装有2个白球和3个黑球，从中任2个，则取出1个白球和1个黑球的概率为（D）A.12B.15C.25D.35解析：从5个球中任取2个不同取法共有2510C种，其中一黑一白的共有11326CC种，所以概率63105P，故选Dxy11OAxy11OBxy11OCxy11OD6.经过点(23,25)M且与双曲线22132xy有相同渐近线的双曲线方程是（D）A.2211812xyB.2211218xyC.2211812yxD.2211218yx解析：设所求双曲线为2232xy，所以1220632，所以2211218yx，故选D7.定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列na是等积数列且13a，前41项的和为103，则这个数列的公积为（C）A.2B.3C.6D.8解析：设这个数列的公积为m，则该数列为：3,,3,,3,,3,3333mmmm所以213201033m，所以6m，故选C8.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，也叫辗转相除法，可追溯至公元300年前.右面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，用于计算两个整数,ab的最大公约数.执行该程序框图（图中“aMODb”表示a除以b的余数），若输入的,ab分别是1764，840，则输出的a（B）A.168B.84C.42D.21解析：因为176484084MOD，840840MOD，所以1764840与的最大公约数为84，故选B.9.在长方体1111ABCDABCD中，1ABAD，12AA，则异面直线11AB与1AC所成角的正切值为（A）A.5B.3C.52D.32解析：如图设异面直线11AB与1AC所成角为，则1tan5BCAB，故选A.10.已知数列na中，11a，22a，且21*nnnaaanN（），则2019a的值为（B）A.1B.2C.12D.14解析：因为21*nnnaaanN（），所以该数列为111221122122,,，，，，，，，是周期为6的周期数列，所以2019336632aa，故选B.开始a输出caMODbabbc0?c结束是否,ab输入ABCD1A1B1C1D11.已知椭圆方程221xyab，且,,abab成等差数，,,abab成等比数列，则此椭圆的离心率为（C）A.12B.33C.22D.32解析：根据题意有2ba且2ba，因为,0ab，所以2a，4b，所以22124xy所以，椭圆的焦点在y轴上，所以22e，故选C12.定义在R上的函数()fx满足：()2fx＞，且(1)3f，则不等式()21fxx＞的解集为（）A.(,0)B.(0,)C.(1,)D.(,1)解析：令()()21gxfxx-，则()()20gxfx-＞，所以()gx在R上单高调递增，又因为(1)3f，所以(1)(1)30gf-，所以()21fxx＞的解集为(1,).二、填空题，本大题共4小题，每小题为5分，共20分）13.直线yxb是曲线ln(0)yxx＞的一条切线，则实数b解析：因为1(0)yxx＞，所以11x，所以切点为(1,0)，所以1b.14.若,xy满足约束条件2204≥≤≤≤xyxyy，则2zxy的最小值为解析：如图，当2,4xy时min8z.15.已知数列na的前n和为22nSnn，则na解析：根据题意，数列na是等差数列，且13a，2d，所以21nan.16.鲁班锁是中国传统的知力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构.它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右，前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来.若正四棱柱的高为8,底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）解析：设两根正四棱柱组成的长方何的长、宽、高分别为,,abc，外接球的半径为R则2,4,8abc，所以244166484R，所以2484SR球.xyO224三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知,,ABC是ABCΔ的内角，,,abc分别是角,,ABC的对边.若222sinsinsinsinsinABABC.（1）求角C的大小；（2）若2c，求ABCΔ面积的最大值.解：（1）因为222sinsinsinsinsinABABC，所以222ababc，所以1cos2C所以23C，即角C的大小为23；（2）因为2c，23C，所以13sin24ABCSabCabΔ，又因为2223≥cababab，所以43≤ab，所以3343≤ABCSabΔ，即ab时，ABCΔ面积的最大，且最大值是33.18.（12分）在国家“大众创业，万众创新”的战略下，某企业决定加大对某产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：试销价格x(元）456789产品销量y(件）898382797467已知变量,xy具有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得线性回归直线方程分别为：甲ˆ459yx；乙ˆ4105yx；丙ˆ4.6104yx，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理数数据”的个数为2的概率.解析：（1）因为变量,xy具有线性负相关关系，所以甲计算结果错，又因为6.5,79xy所以样本中心点(6.5,79)在乙求得的回归直线上，所以乙的计算结果更正确一点.（2）由（1）知线性回归方程是ˆ4105yx，计算预估数据分别为89，85，81，77，73，69所以误差不超过1的有89，81，73三个，即“理想数据”有三个，所以从这六个数中任取3个，不同的取法共有3620C（种），其中含有2个“理想数据”有21339CC（种）.所以920p，即从检测数据中随机抽取3个，“理数数据”的个数为2的概率是920.19.（12分）如图所示，三棱锥中SABC，平面SAB平面ABC，平面SAC平面ABC，,DE分别是AB和BC边上的点，且DEAB，2SA，3AD，1DE，23AC，60AEC，F为CE的中点.（1）求证：∥DE平面SAF；（2）求三棱锥SDEF与四棱锥SDFCA的体积比.解：（1）证明：在ADEΔ中，因为DEAB，1DE，3AD所以2AE，60AED，30DAE在ACEΔ中，因为2AE，23AC，60AEC，所以21242ECCE，所以2280ECCE，所以4CE，又因为F为CE的中点，2CFEF，所以AEFΔ是等边三角形，所以60EAF，所以90DAF，所以AFAB，所以∥DEAF，又因为AFSAF平面，DESAF平面，所以∥DESAF平面（2）因为平面SAB平面ABC，平面SAC平面ABC，所以SAABC平面，所以11113232SDEFVSSASSAΔDEFΔDEA，11113266SDFCAVSSASSASSAΔDFCAΔDFAΔCFA，又因为SSΔDFAΔEFA，所以1111()3226SDFCACEAVSSASSASSAΔCEAΔCFA所以314223ΔΔSSSDEFDEADEASDFCADFAFACEAVSVSSΔΔΔC，所以三棱锥SDEF与四棱锥SDFCA的体积比为1420.（12分）设抛物线2:2(0)Cypxp＞的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与C交于,AB两点，4AB.（1）求抛物线C的方程；（2）若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点，并求出该点的坐标.解：（1）设直线l的方程为12yxp，1122(,),(,)AxyBxy，则12ABxxp将12yxp代入22ypx得221304xpxp，所以123xxp所以4ABp，又因为4AB，所以1p，所以抛物线C的方程是22yx；SBCFEAD23312360（2）根据题意有11(,)Dxy，所以BD方程为211121()yyyyxxxx，又因为111()2ykxp所以212121111121212111()()[()]22yyyyxxyxxkxpxxkxpxxxxyy又因为2121()yykxxp，所以12121121211()()2[]()kxpxxyyyxxxxkxxp，所以122121212112()2[]xxpxxyyyxxxxxp，又因为123xxp，21214xxp所以2121[]2yypyxxx，所以直线BD过定点1(,0)2p，又因为1p，所以直线BD恒过定点，并且该点的坐标为（1(,0)2.21.（12分）若函数31()43fxaxbx，当2x时，函数()fx有极值283.（1）求函数()fx的解析式；（2）若方程()fxk有3个不同的根，求实数k的取值范围.解：（1）因为31()43fxaxbx，所以2()fxaxb，又因为当2x时，函数()fx有极值283，所以(2)0f且28(2)3f，即408282433abab，所以40438abab，所以14ab，所以函数()fx的解析式是31()443fxxx；（2）因为2()4(2)(2)fxxxx所以()fx在(,2)和(2,)上递增，在(2,2)上递减，所以28()(2)3fxf极大，4()(2)3fxf极小又因为方程()fxk有3个不同的根，所以42833k＜＜，即实数k的取值范围是42833（，）.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题纸上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos22sinxy（为参数），