数的开方和二次根式

贺胜中小学初三数学组数的开方和二次根式考点聚焦考点1平方根、算术平方根与立方根平方一个数x的______等于a，那么x叫做a的平方根，记作±a一个正数x的________等于a，则x叫做a的算术平方根，记作a，0的算术平方根是0平方立方数的开方平方根算术平方根立方根一个数x的________等于a，那么x叫做a的立方根形如a(________)的式子叫做二次根式考点2二次根式的有关概念a中的a可以是数或式，但a一定要大于或等于0a≥0二次根式定义防错提醒最简二次根式同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数不含分母。(a)2＝a(a________)a2＝a＝（a≥0）（a0）考点3二次根式的性质ab＝a·b(a________，b________)ba＝ba(a________，b________)≥0a－a≥0≥0≥00二次根式的性质a·b＝ab(a________，b________)考点4二次根式的运算ba＝ba(a________，b________)≥0≥0≥00二次根式的加减先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并二次根式的乘法二次根式的除法考点5把分母中的根号化去(1)1a＝1·aa·a＝aa；(2)1a＋b＝a＋ba＋b常用形式及方法题型一二次根式概念与性质【例1】(1)等式＝成立，则实数的范围是()A．k3或kB．0k3C．k≥D．k3解析：要使等式成立，必须有∴k3.题型分类深度剖析2k－1k－32k－1k－31212D2k－1≥0，k－30，k≥12，k3.(2)已知a、b、c是△ABC的三边长，试化简：＋＋＋.解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c.a＋b＋c2a－b－c2b－c－a2c－a－b2探究提高1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负.2.注意二次根式性质()2＝a(a≥0)，＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．aa2知能迁移1(1)(－)2的平方根是________，9的算术平方根是________，________是－64的立方根．解析：(－)2＝2,2的平方根是±；＝3；＝－4.2±23－42293－64(2)(2011·烟台)如果＝1－2a，则()A．a＜B.a≤C．a＞D.a≥解析：由1－2a≥0，得a≤.2a－1212121212B121≤x≤4解析：x2－8x＋16∵|1－x|－＝(x－1)－(4－x)＝2x－5∴|1－x|＝x－1≥0∴x≥1x2－8x＋16且＝4－x≥0∴x≤4.∴1≤x≤4.21x8162x5,xx若化简的结果为则x的取值范围是(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根与它同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化简再进行开方运算．题型二二次根式的运算【例2】(1)下列运算正确的是()A．2＋4＝6B.＝4C.÷＝3D.＝－3解析：÷＝＝＝3，选C.(2)计算：－＋－2.解：原式＝2－＋－＝.32582273－32C27327÷39243223166126136136326解：原式＝－4152451541153526341451552（3）计算：（-）探究提高1.二次根式化简，依据＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2(m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变形为m2(m为正整数)的形式，即可将其移到根号外.2.二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式．3．二次根式乘除结果要化简为最简二次根式．abababab题型三二次根式混合运算【例3】计算：232-1)132-221（1）（（）（）20122012103103（2）（）（）解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)原式＝22(32)1(22)421181(8421)842(2)原式＝2012(103)(103)201222(10)3=（10-9）2012=1探究提高1.二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，计算时要认真仔细.2.可以适当改变运算顺序，使运算简便．知能迁移3(1)－－()0解：原式＝3－3－1＝－162181222(2)(－3)2－＋()－1；解：原式＝9－2＋2＝9(3)已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．41210解：310410ab103的整数部分=3,小数部分=22ab223(103)9(106109)10610题型四二次根式运算中的技巧【例4】(1)已知x＝2－，y＝2＋，求：x2＋xy＋y2的值；(2)已知x＋＝－3，求x－的值．331x1x解23234(23)(23)1xyxy222()xxyyxyxy=42-1=152211()()4xxxx（2）=（-3）2-4=515xx（1）探究提高1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4，xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即可.2.注意到(x－)2＝(x＋)2－4，可得(x－)2＝5，x－＝±.1x1x1x1x5知能迁移4(1)若y＝＋＋x3，则10x＋2y的平方根为________；3x－66－3x3x－6≥06－3x≥0，x≥2，x≤2，±6∴(1)∵解析：∴x＝2，y＝23＝8，10x+2y=10×2+2×8=361026xy的平方根为22a325,325,abbab已知则445(3)已知x＝，y＝，求的值；2－12＋12＋1－12x2－y2x2＋y22263m(5)36(3),m-n=nmmn(4)已知则-212217答题规范2．注意二次根式运算中隐含条件考题再现已知：a＝，求－的值．学生作答解：原式＝－＝a－1－＝a－1－.∴当a＝时，原式＝－1－(2＋)＝－1－2.12＋3a2－1a＋1a2－2a＋1a2－aa＋1a－1a＋1a－12aa－1a－1aa－11a12＋312＋333规范解答解：∵a＝1，∴a－10.∴＝＝|a－1|＝1－a.∴原式＝－＝a－1＋.∴当a＝时，原式＝－1＋(2＋)＝3.12＋3a2－2a＋1a－12a＋1a－1a＋11－aaa－11a12＋312＋33能力提高(1)题目中的隐含条件为a＝1，所以＝＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；(2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之一，上题中的隐含条件＝＝|a－1|＝1－a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力的培养，提高解题的正确性.12＋3a2－2a＋1a－12a2－2a＋1a－12失误与防范1.求时，一定要注意确定a的大小，应注意利用等式＝|a|，当问题中已知条件不能直接判定a的大小时就要分类讨论．2.化简二次根式的题目，形式多样，应先化简后求值，应力求把根号去掉．在求算术平方根时，要先用含绝对值的式子表示含字母的式子，保证求原式的算术平方根有意义，然后再根据题目条件，判断求绝对值的式子的符号．3．一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响求解过程的附加条件．要特别注意，问题中的条件没有主次之分，都必须认真对待．a2a2