2017届初三中考数学第25讲锐角三角函数(65页)(总复习课件)

结合近年中考试题分析，锐角三角函数的内容考查主要有以下特点:1.命题方式为锐角三角函数的定义、性质的应用、特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现.2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.1.掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊角的三角函数值进行计算.2.了解实际问题中的仰角、俯角、方位角、坡度的概念，会将实际问题转化为数学问题，建立数学模型.3.会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题.4.本讲知识常和三角形、四边形、相似形、圆、坐标系、一元二次方程结合命题，在解题时为了减少失误，求解各未知元素时，应尽量代入已知条件中的数值，少用中间过程中计算出的数值.锐角三角函数的概念与性质锐角三角函数的概念是指锐角的正弦、余弦、正切的概念；锐角的三个三角函数是在直角三角形中定义的，其正弦值等于锐角的对边长除以直角三角形的斜边长；余弦值等于锐角的邻边长除以斜边长；正切值是锐角的对边长除以锐角的邻边长；锐角的三角函数有时还可以放到平面直角坐标系中定义；锐角的三角函数将直角三角形的边与角之间建立了数量关系，是解直角三角形重要的参数.【例1】(2011·乐山中考)如图，在4×4的正方形网格中，tanα=()(A)1(B)2(C)(D)【思路点拨】1252【自主解答】选B.根据网格的特点：设每一小正方形的边长为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切的定义故选B.tan2.的的对边邻边1.(2010·常德中考)在Rt△ABC中，∠C=90°,若AC=2BC，则sinA的值是()(A)(B)2(C)(D)【解析】选C.因为∠C=90°，所以12555222ABACBC5BC.BCBC5sinA.AB55BC2.(2010·黄冈中考)在△ABC中，∠C＝90°，，则tanB＝()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.因，所以，在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2,所以，所以.故选B.4sinA543343545BC4sinAAB5＝＝4BCAB53ACAB5AC3tanBBC4＝3.(2011·福州中考)Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于()(A)(B)(C)(D)acosAbsinBasinAbsinBabsinAsinBabcosAsinB【解析】选B.过点C作CD⊥AB于D,在Rt△ACD中,,所以AD=bcosA,同理,BD=acosB,所以c=AB=AD+BD=bcosA+acosB,又∠A+∠B=90°,所以cosA=sinB,cosB=sinA,所以c=asinA+bsinB.ADADcosAACb特殊角的三角函数值锐角30°、45°、60°的三角函数值在有关的计算题和证明题中经常出现，必须牢记；以上锐角的正弦、余弦、正切值可以总结成以下口诀：“1、2、3，3、2、1，3、9、27！”即：123321313.2222223，，；，，；，，【例2】(2010·凉山中考)计算：【思路点拨】【自主解答】原式==-2.1201002cos601|28|tan30121112(21)()1(82)12(21)(21)22222224.(2011·茂名中考)如图,已知:45°A90°,则下列各式成立的是()(A)sinA=cosA(B)sinAcosA(C)sinAtanA(D)sinAcosA【解析】选B.当∠A45°时,BCAC,所以sinAcosA.5.(2011·黄冈中考)cos30°=()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.由三角函数的定义知12223233cos30.26.(2011·丽水中考)计算:【解析】原式=011854cos45.2212142.27.(2011·乐山中考)计算：【解析】1312()12.cos3031312()12.cos303323232233235.32解直角三角形及应用解直角三角形是指利用直角三角形中的已知条件探求其他未知元素，锐角的三角函数起着桥梁的作用.利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题,一般先把实际问题转化为数学问题，若题中无直角三角形，需要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解.【例3】(2010·安徽中考)若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分.(参考数据：)31.7【思路点拨】【自主解答】如图,过点B作BC垂直河岸,垂足为C,则在Rt△ACB中,有=(米),所以(分),即船从A处到B处约需3.4分.BC900ABsinBACsin6060036003t233.45608.(2010·湖州中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是()(A)米(B)10米(C)15米(D)米【解析】选A.∵,∴米.13∶53103BCAC13∶∶AC3BC539.(2011·南通中考)如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得∠ACB=30°，在D点测得∠ADB=60°,又CD=60m，则河宽AB为_____m(结果保留根号).【解析】设河宽AB为xm，在Rt△ABC中，在Rt△ABD中，由CD=BC-BD，得,所以答案：ABBC3xmtanACB，AB3BDxm,tanADB333xx603x303.30310.(2011·金华中考)生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时(α为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬.现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)【解析】当α=70°时，梯子顶端达到最大高度，∵∴AC=sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6(米).答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约为5.6米.ACsinAB，方位角的应用方位角是在规定“上北下南，左西右东”的原则下，确定物体的位置的一种方法；方位角往往与解直角三角形的知识联系在一起进行考查，当然有时也与行程问题中的方程联系在一起.【例】(2010·杭州中考)如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P320千米处.(1)说明本次台风会影响B市；(2)求这次台风影响B市的时间.【思路点拨】【自主解答】(1)作BH⊥PQ于点H,在Rt△BHP中,由条件知,PB=320,∠BPQ=30°,得BH=320×sin30°=160200,∴本次台风会影响B市.(2)如图,若台风中心移动到P1时,台风开始影响B市,台风中心移动到P2时,台风影响结束.由(1)得BH=160千米,由条件得BP1=BP2=200千米,所以(千米),∴台风影响的时间为(小时).2212PP2200160240240t830(2011·济宁中考)日本福岛出现核电站事故后,我国国家海洋局高度关注事态发展,紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估.如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？(参考数据：).33sin36.9,tan36.9,5412sin67.5,1312tan67.55【解析】过点P作AB的垂线交AB于C点，由题意知AB=105海里，∠ACP=∠BCP=90°，设AC=xcm，则BC=(105-x)cm，在Rt△APC中，，∴在Rt△BPC中，∴PCtan67.5AC12PCACtan67.5x5，PCtan36.9BC，3PCBCtan36.9105x4，∴，解得x=25，即AC=25，BC=80，∴答：此时海检船所在的B处与城市P的距离为100海里.123x(105x)54222212PCx60PBPCBC6080100.5，1.(2010·日照中考)如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若，则AD的长为()(A)2(B)(C)(D)11tanDBA532【解析】选A.过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△DBE中，设DE=x，则BE=5x，又因为在等腰Rt△ABC中，所以AE=DE=x，所以AB=5x+x=6x，又在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，则,即，所以1tanDBA5，AB62626xx2，AD2x2.2.(2010·宿迁中考)小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m，则他升高了()(A)m(B)500m(C)m(D)1000m【解析】选A.设高为x，由勾股定理得，x2+(2x)2=(1000)2,解得20055003x2005.3.(2010·济宁中考)在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000m的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500m到达目的地C,此时小霞在营地A的()(A)北偏东20°方向上(B)北偏东30°方向上(C)北偏东40°方向上(D)北偏西30°方向上【解析】选Ｃ.设A点正北方向有点E,B点正北方向与AC延长线交于点D,由题意可知AC=1000m，BC=500m，∠EAB=70°，∠DBC=20°，AE∥BD，所以∠ABD＋∠EAB=180°，可得∠ABD=110°，则∠ABC=90°；因AC=2BC，可得∠CAB=30°，所以∠EAC=40°，即小霞在营地A的北偏东40°方向上.故选C.4.(2010·中山中考)如图,已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,,则AC=_____.【解析】由题意可得∠B=∠DAC，则，因为，所以，得AC=5.答案：54cosB54cosDACcosB5ADcosDACAC44AC55.(2010·深圳中考)如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则海轮行驶的路程AB为_____海里(结果保留根号).402【解析】在Rt△ACP中，,在Rt△BCP中，,所以AB=AC+BC=40+(海里).答案：2ACPCAPsin45402402BCPCtan60403403404036.(2010·中山中考)计算:【解析】原式=0114()2cos602.2122214.27.(2010·晋江中考)已知：如图，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB=3.(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；(2)若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A′，试求图中阴影部分的面积(结果保留π).【解析】(1)在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，∴点A的坐标为设双曲线的解析式为(k≠0),将A代入得，所以双曲线的解析式为(2)在Rt△OBA中