2019届甘肃省兰州市高考一诊数学试题(文)(解析版)

第1页共15页2019届甘肃省兰州市高考一诊数学试题（文）一、单选题1．已知集合A={x∈N|-1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】先根据集合A的限制条件，确定A中的元素，然后可得元素个数.【详解】集合A={x∈N|-1＜x＜4}={0，1，2，3}．即集合A中的元素个数是4．故选：B．【点睛】本题主要考查集合的表示，根据元素的限定条件确定集合的元素，是求解关键.2．（-1+i）（2i+1）=（）A．1iB．1iC．3iD．3i【答案】C【解析】利用复数的乘法进行运算，注意12i.【详解】（1+i）（2i+1）=2i1+2i2+i=3i．故选：C．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，侧重考查数学运算的核心素养.3．若双曲线2222xyab=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，离心率为3，则其虚轴长为（）A．82B．42C．22D．463【答案】B【解析】利用实轴长为4，可得a，结合离心率可得c，再根据222cab可得虚轴长.【详解】根据题意，若双曲线2222xyab=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，即2a=4，则a=2，第2页共15页又由双曲线的离心率e=3，则有e3ca，则c=3a=23，则b=2222ca，则该双曲线的虚轴长2b=42；故选：B．【点睛】本题主要考查双曲线的性质，注意到222cab是求解的桥梁，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知向量a，b的夹角为2π3，ab=-3，|b|=2，则|a|=（）A．32B．3C．32D．3【答案】D【解析】利用数量积的运算公式可求.【详解】∵ab，的夹角为2,3,||23abb；∴2||||cos||3;||33ababaa．故选：D．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，侧重考查数学运算的核心素养.5．某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）A．15B．25C．35D．710【答案】D【解析】先求基本事件总数25C，再求A或B被选中的对立事件，从而可得.【详解】某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，基本事件总数n=25C=10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，则A或B被选中的概率是P=12325710CC．第3页共15页故选：D．【点睛】本题主要考查古典概型的求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6．朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，10，…，现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为（）A．50B．55C．100D．110【答案】B【解析】根据题意归纳出本质是等差数列求和问题，利用求和公式可得.【详解】由题意可得每层果子数分别为1，3，6，10，…，即为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…，其最底层每边果子数为10，即有该层的果子数为1+2+3+…+10=12×10×11=55．故选：B．【点睛】本题主要考查以数学传统文化为背景的数列求和问题，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.7．已知函数f（x）=xln1x1x，a=f（13），b=f（12），c=f（14），则以下关系成立的是（）A．cabB．abcC．cbaD．acb【答案】A【解析】把所比较的值代入函数，化简，结合对数函数的单调性可求.【详解】11111111lnln2ln4,ln3ln2733236226afbf,115151125lnlnln44323627cf；∵125112511427;lnln4ln272762766；∴c＜a＜b．故选：A．【点睛】第4页共15页本题主要考查对数式大小的比较，构造同系数或者同底数的对数式是求解关键.8．如图所示是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n是（）A．168B．169C．336D．338【答案】A【解析】结合循环结构找到周期，再求出n的值.【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出1到2019中满足条件sin6k=1的k的个数n的值，由sin2=1，又正弦函数的性质可知函数的取值周期为12，且2019=12×168+3，可得：n=168．故选：A．【点睛】本题主要考查利用程序框图的求解输出值，求解策略是“还原现场”，侧重考查逻辑推理的核心素养.9．若点P是函数y=2sinxsinxcosx图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率的范围是（）A．,1B．0,1C．1,D．0,1【答案】C【解析】先求导数，结合导数的几何意义可知，导数的范围就是切线的斜率的范围.【详解】∵22sin2cos(sincos)2sin(cossin),sincos(sincos)xxxxxxxyyxxxx第5页共15页222cos2sin212sincos1sin2xxxxx．∵1＜sin2x≤1，∴0＜1+sin2x≤2，∴111sin22x，则211sin2yx．∴直线l斜率的范围是[1，+∞）．故选：C．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究曲线的切线的斜率问题，侧重考查数学运算的核心素养.10．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，则异面直线PA与BD所成角的余弦值为（）A．105B．31010C．155D．1010【答案】D【解析】先建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求解两个向量的夹角的余弦，再转化为异面直线所成角的余弦.【详解】由题意，建立如图的空间坐标系，∵底面ABCD为正方形，AB=1，PD=2，PD⊥底面ABCD，∴点A（1，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（1，1，0），则(1,0,2),(1,1,0)PADB，∴110cos,10||||52PADBPADBPADB．∴异面直线PA与BD所成角的余弦值为1010．故选：D．【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，利用空间向量能简化推理过程.第6页共15页11．已知点F1，F2是椭圆2222xyab=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q在射线F1P的延长线上，且|PQ|=|2PF|，若|PQ|的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（）A．35B．13C．45D．19【答案】C【解析】利用|PQ|的最小值为1，最大值为9，可得a,c的值，从而可得椭圆的离心率.【详解】因为2||,||PQPFPQ的最小值为1，最大值为9，∴|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1，∴a=5，c=4．∴椭圆的离心率为e=45ca，故选：C．【点睛】本题主要考查椭圆的性质，求解椭圆的离心率，主要是寻求a,b,c之间的关系式.12．已知函数f（x）=x2+ln（|x|+1），若对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，则实数a的范围是（）A．33a44B．3a3C．3a4D．a3【答案】A【解析】先根据函数解析式的特点，确定函数的奇偶性和单调性，再利用分离参数法求解.【详解】函数f（x）=x2+ln（|x|+1）的定义域为R，且f（x）=（x）2+ln（|x|+1）=x2+ln（|x|+1）=f（x），所以f（x）为R上的偶函数，且在[0，+∞）上为增函数；所以对于x∈[1，2]，f（ax2）＜f（3）恒成立，等价于|ax2|＜3在x∈[1，2]上恒成立；即|a|＜2min3x在x∈[1，2]上恒成立，所以|a|＜34，解得34＜a＜34；所以实数a的范围是33,44．故选：A．【点睛】第7页共15页本题主要考查函数的性质，利用性质求解不等式问题时，一般是结合单调性处理，侧重考查数学运算的核心素养.二、填空题13．已知数列{an}中，an+1=2an对∀n∈N成立，且a3=12，则a1=______．【答案】3【解析】利用递推公式an+1=2an，可以逐步得出a1。【详解】∵12=a3=2a2，∴a2=6，∵6=a2=2a1，∴a1=3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查利用数列的递推关系式求解数列中的项，侧重考查逻辑推理的核心素养.14．若实数x，y满足约束条件2xy20xy20，则z=2xy必有最______值（填“大”或“小”）．【答案】大【解析】作出可行域，平移目标函数，观察函数的变化情况可得.【详解】实数x，y满足约束条件22020xyxy的可行域如图：则z=2xy如图中的红色直线，可知目标函数结果A时截距取得最小值，此时在取得最大值，故答案为：大．【点睛】本题主要考查线性约束条件下，线性目标函数的最值情况，作出可行域，结合图形可以第8页共15页判断，侧重考查直观想象的核心素养.15．已知sinα+cosα=75，sinα＞cosα，则tanα=______．【答案】43【解析】先利用平方关系和条件解得sinα，cosα，再利用商关系可得正切.【详解】∵749sincos,12sincos525，即2sinαcosα=2425．又cos2α+sin2α=1，且sinα＞cosα，∴sinα=45，cosα=35，tanα=43．故答案为：43．【点睛】本题主要考查三角函数同角基本关系式，平方关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16．已知函数f（x）=alnx21x2+14，当a∈（102，）时，函数的零点个数为______．【答案】1【解析】先求导数，判断函数的单调性，结合零点存在性定理可得.【详解】函数f（x）=211aln24xx，可得f′（x）=axx，a∈（1,02）时，f′（x）＜0，函数是减函数，2111111(1)0,f1024424aafee，所以函数函数f（x）=alnx21124x，当a∈（1,02）时，函数的零点个数为1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，函数零点问题一般是结合函数的图象变化情况进行判定.三、解答题17．已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b+c=10，a=10，5bsinAcosC+5csinAcosB=3a．（1）求A的余弦值；第9页共15页（2）求b和c．【答案】（1）45；（2）b=c=5【解析】（1）把条件5bsinAcosC+5csinAcosB=3a中的边化为角，可求A的正弦值，结合平方关系可得A的余弦值;（2）利用余弦定理可求.【详解】（1）∵5bsinAcosC+5csinAcosB=3a，∴由正弦定理可得：5sinBsinAcosC+5sinCsinAcosB=3sinA，∵sinA≠0，∴5sinBcosC+5sinCcosB=3，可得：sin（B+C）=35，∵B+C=πA，∴sinA=35，∵A∈（0，π2），∴cosA=21sinA=45；（2）∵a2=b2+c22bccosA=（b+c）22bc（1+cosA），又∵b+c=10，a=10，∴解得：bc=25，∴解得：b=c=5．【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，已知条件中进行边角互化是求解的常用策略.18．“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛