三角比公式补充(积化和差-和差化积-万能公式)

最受信赖的教育品牌北辰教育·教学部第1页共10页北辰教育学科老师辅导讲义学员姓名：年级：高一年级辅导科目：数学学科教师：授课日期2016年1月29日授课时段15：00-17：00授课主题三角比公式补充（积化和差，和差化积，万能公式）教学内容一．课前回顾二倍角公式与半角公式是两角和与差公式的延续，在利用公式计算三角比时，一定要关注角的范围，公式的记忆要掌握技巧，对称记忆，注意公式的正用与反用，还有“变用”同时不要忘记了三角比的定义式，以及几个常见的三角恒等式.最著名的就是：1cossin22上节课的问题解释如下：2tan的值当确定时，2tan是唯一确定的，不可能出现正负两个值，2cos2sin2sin2cos2sin2tan2tansin与同号的，sincos1sincos1cos1cos12tan二．知识梳理知识点1：积化和差(1)1sincos[sin()sin()].2(2)1cossin[sin()sin()].2(3)1coscos[cos()cos()].2(4)1sinsin[cos()cos()].2证明：sincoscossin)sin(①sincoscossin)sin(②最受信赖的教育品牌北辰教育·教学部第2页共10页①+②得：1sincos[sin()sin()].2①-②得：1cossin[sin()sin()].2其它同理可证.知识点2：和差化积（1）2cos2sin2sinsin.（2）2sin2cos2sinsin.（3）2cos2cos2coscos.（4）2sin2sin2coscos.证明：2cos2sin2cos2sin2cos2sin2cos2sin22sin22sinsinsin2cos2sin2sinsin其它同理可证.知识点3：万能公式（1）2tan12tan2sin2（2）2tan12tan1cos22（3）2tan12tan2tan2证明：12tan12tan22cos2sin2cos2sin21sinsin22222tan12tan12cos2sin2sin2cos1coscos22222232tan12tan22sin2cos2cos2sin2cossintan2222tant212sintt2211costt.12tan,2tt注意：令21tt221t最受信赖的教育品牌北辰教育·教学部第3页共10页1上述三个公式统称为万能公式；2这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切即：)2(tanf所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁；3上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小.三．例题讲解1.和差化积与积化和差例1：（1）32sincos22（2）cos()cos()巩固练习：1、给出下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcosθ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ；⑤sinxsiny＝12[cos(x－y)－cos(x＋y)]．其中正确的序号是________．2、cos72°－cos36°的值为_______________.例2：求证：333sin3sincos3coscos2证明：巩固练习：最受信赖的教育品牌北辰教育·教学部第4页共10页1、求证下列各式：（1）22cos()cos()cossin（2）22sin()sin()sinsin2、求证：sin()cos()sincossincos2.万能公式例3：已知5cos3sincossin2，求3cos2+4sin2的值.巩固练习：最受信赖的教育品牌北辰教育·教学部第5页共10页1、8tan18tan22、已知532cos2sin且540450，求4tan的值..tan1cos22sin,21)4tan(2求已知例4：21cossin1cossin1,求cos值.巩固练习:1、已知1tan2tan22，求证0sin2cos2.2、若135sin,212tan,,0,BAABA,求Bcos值.3、最受信赖的教育品牌北辰教育·教学部第6页共10页3.三角比化简常用方法（1）定义法例5：化简xxxxxxxxsintansintansintansintan（2）弦切互化法例6：xxxxxxx2222tan1tan1)cos2tantan(sin2tan化简（3）变用公式oooooo15tan50tan50tan25tan25tan15tan化简说明:公式tantan1tantan)tan(在解题中运用非常灵活.常常变形为：)tantan1)(tan(tantan（4）连锁反应法oo78sin66sin42sin6sin化简例7：例8：最受信赖的教育品牌北辰教育·教学部第7页共10页（5）升降次法例9：yxyxyx2cos2cos)(cos)(cos22化简（6）基本技巧例10：(1)2cos2sin12cos2sin1:化简(2).2cos2sin,2tan的值求已知xxx4.综合题选讲例11：已知cos(α－β)=、，，2312sin21都是锐角，求cos(α+β)的值.最受信赖的教育品牌北辰教育·教学部第8页共10页例12：已知1sinsin4，1coscos3，求（１）cos()-，（２）cos()．例13：猜想sinsin2sin3sincoscos2cos3cosnn化简后的结果（证明否？）四．归纳总结1.三角比的化简，难点在于角，角的范围难，角的灵活拼凑难，以角为目的去解题；2.所有公式都以定义式为基础，不会的地方回归定义；3.要重视“1”的作用；4.计算要准确.最受信赖的教育品牌北辰教育·教学部第9页共10页五．课后作业1．下列等式错误的是()A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosBB．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsinBC．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosBD．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB2．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2C2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形3.化简1＋sin4α－cos4α1＋sin4α＋cos4α的结果是()A．cot2αB．tan2αC．cotαD．tanα4．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos2α－sin2β等于()A．－23B．－13C.13D.235．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin(α＋β)·sin(α－β)＝___________.6.在△ABC中，若B＝30°，求cosAsinC的取值范围．7.在△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＝4cosA2cosB2cosC2.最受信赖的教育品牌北辰教育·教学部第10页共10页8.已知：+(2，)，(0，2)，且sin()=734，cos(+)=1411，求.9.已知4sin()1,5tan，且是第二象限的角，求2sin．10.在△ABC中，求证：sin2A+sin2B+sin2C=2cosAcosBcosC+2.