常微分方程期末试题答案

一、填空题（每空2分，共16分）。1、方程22ddyxxy满足解的存在唯一性定理条件的区域是xoy平面．2.方程组nxxxRYRYFY,),,(dd的任何一个解的图象是n+1维空间中的一条积分曲线.3．),(yxfy连续是保证方程),(ddyxfxy初值唯一的充分条件．4．方程组xtyytxdddd的奇点)0,0(的类型是中心5．方程2)(21yyxy的通解是221CCxy6．变量可分离方程0dyyqxpdxyNxM的积分因子是xPyN17．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1xy,)(2xy成为其基本解组的充要条件是线性无关8．方程440yyy的基本解组是xxx22e,e二、选择题（每小题3分，共15分）。9．一阶线性微分方程d()()dypxyqxx的积分因子是（A）．（A）xxpd)(e（B）xxqd)(e（C）xxpd)(e（D）xxqd)(e10．微分方程0d)ln(dlnyyxxyy是（B）（A）可分离变量方程（B）线性方程（C）全微分方程（D）贝努利方程11．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常数解是（C）．(A)1x(B)1y(C)1y,1x(D)1y,1x12．n阶线性非齐次微分方程的所有解（D）．（A）构成一个线性空间（B）构成一个1n维线性空间（C）构成一个1n维线性空间（D）不能构成一个线性空间13．方程222xyy（D）奇解．（A）有一个（B）有无数个（C）只有两个（D）无三、计算题（每小题8分，共48分）。14．求方程222ddxyxyxy的通解解：令uxy，则dxdyxudxdy，于是，Cxuuxuudxdu1,2所以原方程的通解为xyxCxCy,1215．求方程0d)ln(d3yxyxxy的通解解：取xyyxNxyyxMln,,,3则xyxNyxMxy1,,，于是原方程为全微分方程所以原方程的通解为yxCdyydxxy131即Cyxy441ln16．求方程2221)(xyxyy的通解解:令py，得到222xxppy（*），两端同时关于求导，整理得012dxdpxp，则取02xp,得2xp,代入（*）得解42xy取01dxdp,得Cxp,代入（*）得原方程得通解为222CxCxxy17．求方程53xyye的通解解对应的齐次方程的特征方程为032，特征根为01，32故齐次方程的通解为xCCy321e因为5不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为xAxy51e)(代入原方程，得xxxAA555ee15e25即101A，故原方程的通解为xxCCy5321e101e18．求方程2(cos7sin)xyyyexx的通解解：先求解对应的其次方程：02yyy，则有，xxeCeCy221212;2,1,02因为数ii1不是特征根，故原方程具有形如xBxAeyxsincos1的特解。将上式代入原方程，由于xBxAeyxsincos1xABxBAeyxsincos1xAxBeyxsin2cos21故yyy2xAxBexsin2cos2xABxBAexsincosxxexBxAexxsin7cossincos2或xxxABxABsin7cossin3cos3比较上述等式两端的xxsin,cos的系数，可得73,13BABA因此，.1,2BA故xxeyxsin1cos21所求通解为xxxeCeCxxey21sin1cos219．求方程组3553dYYdx的实基本解组解：方程组的特征多项式为3553，其特征根是i532,1，那么属于1的特征向量11i，属于2的特征向量i12。则方程的基本解组为xixixixiieeeiex535353531，其实基本解组为0111x。而iiii1121110111因此所求实基本解组为x0111xxexexexeiiieeeiettttxixixixi5cos5sin5sin5cos1121333353535353四、应用题（每小题11分，共11分）。20．（1）求函数()atfte的拉普拉斯变换（2）求初值问题3322(0)0,(0)0txxxexx的解解：（1）asasaseasdtedteeetastasatstat,,1010（2）设sXtx，tx是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普拉斯变换，可分别得到;212323232322sssXsssXsssXxxxxxx322233seett故有3212ssssX使用部分分式法，可得312211ssssX由（1）可知，31;21;1132sesesettt故所求的初值解为ttteeetx322。五、证明题（每小题10分，共10分）。21．证明：对任意0x及满足条件001y的0y，方程22d(1)d1yyyxxy的满足条件00()yxy的解()yyx在(,)上存在。证：由于221)1(),(yxyyyxf22222)1(2)1()1)(12(),(yxyyyyxyyxfy在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件．又显然1,0yy是方程的两个特解．现任取),(0x，)1,0(0y，记)(xyy为过),(00yx的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越1y，下不能穿越0y，因此它的存在区间必为),(．