二项式定理复习

二项式定理复习1、二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)(通项（第r+1项）：1rT2、二项式系数的性质：I.在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.Ⅱ.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大.Ⅲ.在二项展开式中，所有二项式系数的和等于；奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于n2.21nrnCrrnba概念复习例1（1）如果的展开式中，第四项与第六项的系数相等，求展开式中的常数项；（2）求展开式中的所有有理项.nxx2)1(84)21(xx◆求常数项就是求x的零次幂的项；◆◆求有理项就是求x的整数次幂的项.(一)通项公式的应用注:例2、巳知二项式.（1）若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项。nx)221(◆◆设的系数为，那么为最大的必要而不充分的条件是：.211rrrrAAAA且r1Tr1Ar1A(二)项、项的系数、项的二项式系数解法一因为（x2十3x十2）5＝[(x2十3x)十2]5＝(x2十3x)5十十十2)3(4215xxC555424522)3(CxxC例3.求（x2十3x十2）5的展开式中x的系数。44523C所以x的系数为＝240．例3.求（x2十3x十2）5的展开式中x的系数。解法二因为（x2十3x十2）5＝（x2十3x十2）（x2十3x十2）（x2十3x十2）（x2十3x十2）（x2十3x十2）所以（x2十3x十2）5展开式的各项是由五个因式中各选一项相乘后得到的，那么它的一次项只能从五个因式中的一个取—次项3x，另四个因式中取常数项2相乘得到，即3x·24＝240x所以x的系数为240．（三）展开式中各项系数和例4.(2x2-1)n的展开式的各项系数和为……（）A.2n+1B.2nC.0D.1分析：设(2x2-1)n=a0x2n+a1x2(n-1)+…+an，展开式各项系数和为a0+a1+a2+…+an∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，(2-1)n=a0+a1+a2+…+an∴a0+a1+a2+…+an=（2-1）n=1D求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为1例5已知:展开式的系数之和比展开式的系数之和小240,求展开式nxx31nba2nxx31中系数最大的项.832yx展开式的二项式系数的和为多少?系数的和为多少?1.(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数和是………………………………………（）A.2n+1-2B.2n+1-1C.2n+1D.2n+1+12.A（四）求展开式中各奇数项与各偶数项的系数和例6.已知：(2-)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，A=a0+a2+a4+…a100，B=a1+a3+a5+…+a99，求：A+B、A-B、A2-B2.x3小结：(a+b)n=a0an+a1an-1b+a2an-2b2+…+anbn，设A=a0+a2+a4+…，B=a1+a3+a5+…，（即A为展开式中各奇数项的系数和，B为展开式中各偶数项的系数和）.则：令a=b=1，得A+B=2n…………(1)令a=1，b=-1，得A-B=0…………(2)由（1）（2）可分别解得A、B这是求奇数项系数和与偶数项系数和的基本思路.归纳：求系数和的基本思路是：对二项式的X赋特殊值(五)整除性的证明、求余数；例7如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期几？解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5=7n+1+++…+++7n+5=7(7n+++…+++n)+6则23n+3＋7n＋5被7除所得余数为6所以对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5后的一天是星期日．7777－1能被19整除吗？（六）近似计算|x|1时，要注意误差绝对值应小于精确度的一半，否则应该加项。nxxn1)1()001.0(997.15精确到例：计算761.3100072.024.032997.15答案：这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成2＋1．注意到：①2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）；②n≥2，右式至少三项；这样，可以得到3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）(七)其它应用例9求证：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）注◆二项式定理实质上是一个恒等式，而恒等式的应用要注意：正用、逆用和变形用.例10、设（1）若试用q和n表示；（2）若试用n表示),1,(112qNnqqqann.2211nnnnnnaCaCaCAnA),(321NnnannA◆◆要善于利用二项式系数的性质，求解或证明有关的组合关系式.1、在的展开式中的系数是.)10()2)(1(xxx9x2、在的展开式中的系数是，该项的二项式系数是.16)2(yxyx73、在(k∈N)的展开式中二项式系数最大的项是第项.kyx2)(4、.810610410210CCCC5、设，则，.0177888)2(axaxaxax178aaa2468aaaa55480120k＋1510－25530256、设，则的反函数等于……………………………………………（）1510105)(2345xxxxxxf)(xf)(1xf7、展开式中的系数是……………（）6)32(zyxzyx238、被4除所得余数为………………（）992333151)xA521)xB521)xC521)xD4320)A4320)B60)C60)D0)A1)B2)C3)DBBA