2019中考数学--几何图形探究拓展训练

2019中考数学几何图形探究拓展训练1．(1)问题发现如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点D为BC的中点，过点D作射线DE⊥DF，分别交AB，AC于点E，F，当DE⊥AB，DF⊥AC时，DEDF＝________；(2)类比探究若∠EDF绕着点D旋转到图②的位置，(1)中其他条件不变，DEDF＝________；若改变点D的位置，当CDBD＝ab时，求DEDF的值，请就图③的情形写出解答过程；图①图②第1题图(3)问题解决如图③，AB＝2，AC＝4，连接EF，当CD＝____时，△DEF为等腰直角三角形；当CD＝____时，△DEF与△ABC相似．图③第1题图解：(1)2；【解法提示】∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC＝90°，∴DF∥AE，DE∥AC，∴△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，∴DEAC＝BDBC，DFAB＝CDBC，∵点D为BC的中点，AB＝2，AC＝4，∴DE4＝12，DF2＝12，∴DE＝2，DF＝1，∴DEDF＝2.(2)2；【解法提示】如解图①，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，∵∠A＝∠DMA＝∠DNA＝90°，∴∠MDN＝90°，∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN，∴∠MDE＝∠NDF，又∵∠DME＝∠DNF，∴△DEM∽△DFN，∴DEDF＝DMDN，由(1)可得DMDN＝2，∴DEDF＝2.第1题解图①如解图②，过点D作DG⊥AB于点G，作DH⊥AC于点H，∴∠GDH＝90°，∴∠EDG＋∠GDF＝∠FDH＋∠GDF＝90°，∴∠EDG＝∠FDH，又∵∠DGE＝∠DHF＝90°，第1题解图②∴△DGE∽△DHF，∴DEDF＝DGDH，∵∠BAC＝90°，∴DG∥AC，DH∥AB，∴△BDG∽△BCA，△CDH∽△CBA，∴DGAC＝BDBC，CDBC＝DHAB，∵CDBD＝ab，∴BDBC＝BDBD＋CD＝ba＋b，CDBC＝CDBD＋CD＝aa＋b，∴DG4＝ba＋b，DH2＝aa＋b，∴DEDF＝DGDH＝2ba；(3)453；855或5.【解法提示】∵∠EDF＝90°，∴当△DEF为等腰直角三角形时，DE＝DF，由(2)中的结论可知，DEDF＝2ba＝1，∴a＝2b，∴BC＝3b，在Rt△ABC中，∵AB＝2，AC＝4，由勾股定理得BC＝22＋42＝25，∴CD＝23BC＝453.∵∠EDF＝∠A＝90°，∴△DEF与△ABC相似有两种情况：①当△DEF∽△ABC时，DEAB＝DFAC，即DEDF＝ABAC＝12，∴2ba＝12，∴a＝4b，∴CD＝45BC＝855；②当△DEF∽△ACB时，DEAC＝DFAB，即DEDF＝ACAB＝2，∴2ba＝2，∴a＝b，∴CD＝12BC＝5.综上所述，当CD＝855或5时，△DEF与△ABC相似．2．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF.(1)如图①，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；(2)当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为734，求AE的长；(3)如图②，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由；(4)如图②，当△ECD的面积S1＝36时，求AE的长．图①图②第2题图解：(1)△ABE≌△CBF.理由如下：∵△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB＝CB，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF＝60°，∴∠CBF＝∠ABE＝60°－∠CBE，∴△ABE≌△CBF(SAS)；(2)由(1)知点E在运动过程中始终有△ABE≌△CBF.∵S四边形BECF＝S△BCF＋S△BCE，∴S四边形BECF＝S△ABC，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴S△ABC＝34×22＝3，∴S四边形BECF＝3，又∵S四边形ABFC＝734，∴S△ABE＝S四边形ABFC－S四边形BECF＝334，在△ABE中，∵∠A＝60°，∴AB边上的高为AE·sin60°，则S△ABE＝12AB·AE·sin60°＝12×2×32AE＝334，∴AE＝32；(3)S2－S1＝3.理由如下：∵△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB＝CB，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF＝60°，∴∠CBF＝∠ABE＝60°＋∠CBE，∴△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△CBF，∴S△FDB＝S△ECD＋S△ABC，∴S△FDB－S△ECD＝S△ABC＝3，即S2－S1＝3；(4)由(3)知S2－S1＝3，即S△FDB－S△ECD＝3，由S△ECD＝36得S△BDF＝736，∵△ABE≌△CBF，∴AE＝CF，∠BAE＝∠BCF＝60°，又∵∠BAE＝∠ABC＝60°，得∠ABC＝∠BCF，∴CF∥AB，则在△BDF中，DF边上的高是AC·sin60°＝3，∴12DF×3＝736，解得DF＝73，设CE＝x，则2＋x＝CD＋DF＝CD＋73，∴CD＝x－13，在△ABE中，由CD∥AB得，CDAB＝CEAE，即x－132＝xx＋2，化简得3x2－x－2＝0，∴x＝1或x＝－23(舍)，即CE＝1，∴AE＝3.3．如图①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF＝BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G，连接FB.(1)过D点作DH⊥AB，垂足为点H，若DH＝23，BE＝14AB，求DG的长；(2)连接CP，求证：CP⊥FP；(3)如图②，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE＝BF，连接DE，点P为DE的中点，连接FP，CP，那么第(2)问的结论成立吗？若成立，求出PFCP的值；若不成立，请说明理由．图①图②第3题图(1)解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴DA∥BC，CD＝CB，∠CDG＝∠CBA＝60°，∴∠DAH＝∠ABC＝60°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，在Rt△ADH中，sin∠DAH＝DHAD，∴AD＝DHsin∠DAH＝2332＝4，又∵AB＝AD，∴BE＝14AB＝14×4＝1，∵EF∥AD，∴∠PDG＝∠PEF，∵P为DE的中点，∴PD＝PE，又∵∠DPG＝∠EPF，∴△PDG≌△PEF(ASA)，∴DG＝EF，又∵EF＝BE，∴DG＝EF＝1；(2)证明：如解图①，连接CG，CF，第3题解图①由(1)知△PDG≌△PEF，∴PG＝PF，∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBA＝60°，∵EF＝BE，∴△BEF为等边三角形，∴BF＝EF＝BE，∠EBF＝60°，∵DG＝EF，∠ABC＝60°，∴BF＝DG，∠CBF＝∠ABC＝∠CDG＝60°，在△CDG与△CBF中，CD＝CB∠CDG＝∠CBFDG＝BF，∴△CDG≌△CBF(SAS)，∴CG＝CF，∵PG＝PF，∴CP⊥FP；(3)解：CP⊥FP仍成立．如解图②，过D作EF的平行线，交FP的延长线于点G，连接CG，CF，第3题解图②易证△PEF≌△PDG，∴DG＝EF＝BF，∵DG∥EF，∴∠GDP＝∠FEP，∵DA∥BC，∴∠ADP＝∠PEC，∴∠GDP－∠ADP＝∠FEP－∠PEC，∴∠GDA＝∠BEF＝60°，∴∠CDG＝∠ADC＋∠GDA＝120°，∵∠CBF＝180°－∠ABC＝120°，在△CDG和△CBF中，CD＝CB∠CDG＝∠CBF，DG＝BF∴△CDG≌△CBF(SAS)，∴CG＝CF，∠DCG＝∠FCB，∵PG＝PF，∴CP⊥PF，∠GCP＝∠FCP，∵∠DCB＝180°－∠ABC＝120°，∴∠DCG＋∠GCE＝120°，∴∠FCE＋∠GCE＝120°，即∠GCF＝120°，∴∠FCP＝12∠GCF＝60°，在Rt△CPF中，tan∠FCP＝tan60°＝PFCP＝3.∴PFCP＝3.4．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF，与BC交于点H，再连接EF.(1)如图①，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF＝3BC；(2)如图②，若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请说明理由；(3)如图③，若△ABC是等腰三角形，且AB＝AC＝kBC，求EF与BC之间的数量关系．图①图②图③第4题图(1)证明：①如解图①，连接AH，第4题解图①∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，AH⊥BC，又∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC；②由①得AH⊥BC，AH＝12EF，∵在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2，∴AH＝BC2－（12BC）2＝32BC，∴32BC＝12EF，∴EF＝3BC；(2)解：EF⊥BC仍然成立，EF＝BC；【解法提示】如解图②，连接AH，第4题解图②∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，又∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，∴AH⊥BC，AH＝BH＝12BC，又∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，EF＝2AH＝BC，∴(1)中的结论①EF⊥BC仍成立，但结论②不成立，EF与BC的关系应为EF＝BC；(3)解：如解图③，连接AH，第4题解图③∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，又∵△ABC是等腰三角形，AB＝kBC，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(kBC)2－(12BC)2＝(k2－14)BC2，∴AH＝4k2－12BC，又∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，∴4k2－12BC＝12EF，∴EF＝4k2－1BC.5．如图①，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD.(1)求证：BD＝AC；(2)将△BHD绕点H旋转，得到△EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE.①如图②，当点F落在AC上(F不与C重合)时，若BC＝4，tanC＝3，求AE的长；②如图③，△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到的，设射线CF与AE相交于点G，连接GH.试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．图①图②图③第5题图(1)证明：∵∠ABC＝45°，AH⊥BC，∴△ABH是等腰直角三角形，∴BH＝AH，在△BHD和△AHC中，BH＝AH∠BHD＝∠AHCDH＝CH，∴△BHD≌△AHC(SAS)，∴BD＝AC；(2)解：①如解图①，过点H作HM⊥AE交AE于点M，第5题解图①在Rt△AHC中，tanC＝3，∴AHHC＝3，∴BH＝AH＝3CH，又∵BC＝4，∴BC＝BH＋HC＝4CH＝4，∴CH＝1，BH＝3，由旋转的性质可以得到，HE＝BH＝3，HF＝DH＝HC＝1，∠EHF＝∠AHB＝∠AHC＝90°，∴∠EHA＝∠FHC，∴∠EAH＝∠C＝∠AEH，∴AM＝EM，∴tan∠EAH＝tanC＝3，设AM＝x，则HM＝AM·tan∠EAH＝3x，在Rt△AHM中，由AH2＝AM2＋HM2，得32＝x2＋(3x)2，∴x＝31010，∴AE＝2AM＝2x＝3105；②EF＝2GH.理由：设AH交CG于点N，如解图②，由旋转的性质可得，HE＝HB＝HA，HF＝HD＝HC，∵旋转角度为30°，∴∠FHD＝∠BHE＝30°，∴∠EHA＝∠FHC＝120°，第5题解图②∴∠FCH＝∠GAH＝30°，又∵∠ANG＝∠HNC，∴△ANG∽△CNH，∴∠AGN＝∠CHN＝90°，GNAN＝HNCN，又∵∠GNH＝∠ANC，∴△GNH∽