重积分的概念及计算.ppt

1第七章重积分7.1重积分的概念与性质在一元函数微积分学中我们已经知道，定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的极限的概念推广到定义在区域上多元函数的情形，便得到重积分的概念。本章首先介绍重积分的概念、计算法以及它们的应用。2定义7.1.1设是有界闭区域上的有界函数，将区域任意分割成n个小区域12,,,nii其中表示第个小闭区域,也表示它的面积。1,)(1,2,,),(,)(1,2,,),(,)iiniiiiiinfinfiii任取点(作积并求和。如果当各小区域直径的最大值趋于零时，上述和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作01(,)lim(,)niiiDfxydfi(,),Dfxyd即7.1.1重积分的定义(,)fxy3积分区域积分和积分变量被积表达式面积元素niiiiDfdyxf10),(lim),(被积函数4下面我们再给出重积分的定义。定义7.1.2设是Rn中一个可求体积（n=2时为面积）的有界闭区域，f(X)是在上有定义的有界函数，将分割为彼此没有公共内点的任意闭子域123,,,,niiiiv用表示各中直径的最大值,(或)表示的体积(或面积)。=1=1(1,2,,),()(1,2,,),Σ()Σ())iiinniiiiiiXinfXvinfXVfXi任取点作积并作和(或5如果当0时，上述和式的极限存在，并且该极限与的分割方式及Xi的取法无关，我们称该极限值为函数f(X)在上的n(重)积分，记为()fXdX其中f(X)称为被积函数，称为积分区域，也称函数f(X)在上可积。特别地，当n=2时函数f(X)=f(x,y)(x,y)D，()(,)DfXdXfxyd即为函数f(x,y)在D上的二重积分，d称为面积元素。67.1.2重积分的性质我们仅给出二重积分的性质，三重积分的性质完全类似。假设性质中涉及的函数在相应区域上均可积，D、D1、D2都是平面上的有界闭区域。(1)1DDdd(2)(关于被积函数的线性可加性）若、为常数，则[(,)(,)](,)(,)DDDfxygxydfxydgxyd表示D的面积7(3)（关于积分区域的可加性）1212,DDDDD若且与无公共内点，则12(,)(,)(,)DDDfxydfxydfxyd(4)（积分不等式）如果在D上有f(x,y)g(x,y),则(,)(,)DDfxydgxyd8第七章重积分7.2二重积分的计算法利用二重积分的定义直接计算二重积分一般很困难，计算二重积分的基本途径是将二重积分转化为累次积分，然后通过计算两次定积分来计算二重积分。97.2.1利用直角坐标计算二重积分设f(x,y)是定义在平面区域D上的非负连续函数，以D为底面，以曲面f(x,y)为顶面，以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面所围成的立体称为曲顶柱体。如何求该曲顶柱体的体积呢？xzyoD),(yxfz1、曲顶柱体的体积------二重积分的几何意义10xzyo),(yxfzD(1)分割用一组曲线网将D分成n个小闭区域1,2,…,n，分别以这些小区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分割成n个细曲顶柱体。11xzyoD),(yxfz(2)近似当这些小区域的直径di很小时，由于f(x,y)连续，对于同一个小区域上的不同点，f(x,y)的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体i),(iiiiiifV),(12(3)作和式(4)取极限nniiiidddfV,,,max(,),(lim2110niiiifV1),(xzyo),(yxfzD曲顶柱体的体积DdyxfV),(由二重积分定义立即得到这也是二重积分的几何意义。132、用几何观点讨论二重积分的计算法bxaxyxD),()(:21(1)设f(x,y)0，f(x,y)在D上连续。［X－型］oabxyD)(2xy)(1xyoabxy)(2xy)(1xyD14)(0xA)(2xyoax0bxyz),(yxfz)(1xy在区间[a,b]上任取一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。)()(000201),()(xxdyyxfxA这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[1(x0),2(x0)]为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，其截面面积为：先计算截面面积。15一般地，过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面面积为：。)()(21),()(xxdyyxfxA于是，应用计算平行截面面积为已知的立方体体积的方法，得曲顶柱体体积为badxxAV)(这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式)1(]),([),()()(21baxxDdxdyyxfdyxfbaxxdxdyyxf]),([)()(21)(2xyoaxbxyz()Ax),(yxfz)(1xy16上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。baxxdyyxfdx)()(21),(。即)1(),(),()()(21baxxDdyyxfdxdyxf就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从1(x)到2(x)的定积分；再把计算所得的结果（是x的函数）对x计算在区间[a,b]上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作17(2)D如果积分区域可以用不等式［Y－型］dycyxy),()(21来表示Dyoxdc)(1yxyoxdc)(1yx)(2yx)(2yxD18计算时先把y看作常数，因此f(x,y)是x的一元函数，在区间1(y)x2(y)上对x积分,得到一个关于y的函数,再在区间cyd上对y积分,。这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。Ddyxf),(21()()(,)(2)dycydyfxydxdcyydydxyxf)()(21]),([1921()()(,)(,)(1)bxaxDfxyddxfxydy应用公式(1)时，积分区域必须是X型区域。21()()(,)(,)(2)dycyDfxyddyfxydx应用公式(2)时，积分区域必须是Y型区域。20若积分区域D既不是X型区域也不是Y型区域，D，此时要将积分区域D分成几部分，使得每一部分是X型区域或Y型区域，再利用积分关于区域的可加性可得整个区域上的积分。yox2D3D1D若积分区域D既是X型区域也是Y型区域，则。2211()()()()(,)(,)bxdyaxcydxfxydydyfxydx这表明二次积分可以交换积分次序。123(,)(,)(,)(,)DDDDfxydfxydfxydfxyd213、二重积分计算的一般方法要依被积函数及积分区域两方面的情况选定积分顺序。化为两次单积分(1)作图，确定D的类型。(2)选定积分顺序。(3)定出积分上下限。(4)计算定积分。确定积分顺序之后，积分的上下限是依D的特点而定的。要使两次积分都能“积得出”，“易积出”。22221,,111DyxydDyxxy计算其中是直线和所围成例的闭区域。1－1xo1xy=xy,yx先对再对求积分312212112[(1)]|23xxydx113)1|(|31dxx103)1(32dxxDdyxy221dxdyyxyx11122]1[。21解画出积分区域D如图所示。既是X－型，又是Y－型的。23,xy若先对再对求积分则Ddyxy22111122]1[dydxyxyy。1－1o1xy=xyy242,:2,2DxydDyxyx计算二重积分由例所围区域。解首先画出积分区域D的图形。O1x-221y(1，1)(4,-2),21DDD(1)如先积y后积x，则有,10:1xxyxD。412:2xxyxD1D2D25O1x(4,-2)-221y(1，1)1D2DDxyddxxydxxx241210210xxxydydx10xxxydydx2414123)45(21dxxxx。84521DDxydxyd26O1x(4,-2)-221y(1，1)D(2)如先积x后积y，则有yyxydxdyI212212532]44[21dyyyyy126332]64342[21yyyy。845dyyyy4212)2(2评注本例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序，这时既要考虑区域D的形状，又要考虑函数f(x,y)的特性。274、交换积分顺序①由所给的积分顺序及积分限写出D的不等式表示并画出积分区域的草图②由积分区域按新的积分顺序确定积分限。例3交换以下积分的积分顺序212220010(,)(,)xxxIdxfxydydxfxydy12(,)(,)DDIfxydxdyfxydxdy解,10,20:21xxxyD2120:2xxyD28,10,20:21xxxyD2120:2xxyDy1y＝2xO12x221DDD10211:2yyxyD102112),(yydxyxfdyxxxdyyxfdxdyyxfdxI20212010),(),(2D1D229课内练习一改变以下二次积分的积分次序yydxyxfdyI),()1(101221111112),()2(xxdyyxfdxIyyadxyxfdyI),()3(0330110(1)(,)yyIdyfxydx解xxdyyxfdx2),(10221111112),()2(xxdyyxfdxIyyx2221o2xy222220),(yyyydxyxfdy1yxxyxy31yyadxyxfdyI),()3(03axaaxadyyxfdxdyyxfdx2),(),(00xyxyyaOx