2020年中考数学10道压轴题(附答案)

第1页共34页2020年中考数学10道压轴题（附答案）1.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为abacab44,22）2.如图，在RtABC△中，90A，6AB，8AC，DE，分别是边ABAC，的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA∥交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx，QRy．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；第2页共34页（3）是否存在点P，使PQR△为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．3在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上ABCDERPHQABCMNP图3OABCMND图2OABCMNP图1O第3页共34页的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.5如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.第4页共34页6如图，抛物线21:23Lyxx交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线1L向右平移2个单位后得到抛物线2L，2L交x轴于C、D两点.（1）求抛物线2L对应的函数表达式；（2）抛物线1L或2L在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线1L上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线2L上，请说明理由.7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积；第5页共34页（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．8.如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数xky的图象上．（1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标CDABEFNMxOyAB友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．xOy1231QP2P1Q1第6页共34页为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，则点P1的坐标为，点Q1的坐标为．9.如图16，在平面直角坐标系中，直线33yx与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线223(0)3yaxxca经过ABC，，三点．（1）求过ABC，，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP△为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF△的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且1AB，3OB，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线AOxyBFC图16第7页共34页2yaxbxc过点AED，，．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点OBPQ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11.已知：如图14，抛物线2334yx与x轴交于点A，点B，与直线34yxb相交于点B，点C，直线34yxb与y轴交于点E．（1）写出直线BC的解析式．（2）求ABC△的面积．（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与AB，重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出MNB△的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，MNB△的面积最大，最大面积是多少？yxODECFAB第8页共34页12.在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OAOB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5,A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程2(2)10xmxn的两根:(1)求m，n的值(2)若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式(3)过点D任作一直线`l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则11CMCN的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由第9页共34页13.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；(3)△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为abacab44,22）14.已知抛物线cbxaxy232，ACOBNDML`第10页共34页（Ⅰ）若1ba，1c，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1ba，且当11x时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；（Ⅲ）若0cba，且01x时，对应的01y；12x时，对应的02y，试判断当10x时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．第11页共34页15.已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设△AQP的面积为y（2cm），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．图②AQCPB图①AQCPB第12页共34页16.已知双曲线kyx与直线14yx相交于A、B两点.第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线kyx上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线kyx于点E，交BD于点C.（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.压轴题答案1.解：（1）由已知得：310cbc解得c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为223yxx(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)DBCENOAMyxyxDEABFOG第13页共34页设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积=ABODFEBOFDSSS梯形=111()222AOBOBODFOFEFDF=11113(34)124222=9（3）相似如图，BD=2222112BGDGBE=22223332BOOEDE=22222425DFEF所以2220BDBE,220DE即：222BDBEDE,所以BDE是直角三角形所以90AOBDBE,且22AOBOBDBE,所以AOBDBE.2解：（1）RtA，6AB，8AC，10BC．点D为AB中点，132BDAB．90DHBA，BB．BHDBAC△∽△，DHBDACBC，3128105BDDHACBC．（2）QRAB∥，90QRCA．CC，RQCABC△∽△，RQQCABBC，10610yx，第14页共34页即y关于x的函数关系式为：365yx．（3）存在，分三种情况：①当PQPR时，过点P作PMQR于M，则QMRM．1290，290C，1C．84cos1cos105C，45QMQP，1364251255x，185x．②当PQRQ时，312655x，6x．③当PRQR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，11224CRCEAC．tanQRBACCRCA，366528x，152x．综上所述，当x为185或6或152时，PQR△为等腰三角形．3解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴AMANABAC，即43xAN．∴AN＝43x．……………2分ABCDERPHQM21ABCDERPHQABCDERPHQABCMNP图1O第15页共34页∴S=2133248MNPAMNSSxxx．（0＜x＜4）……………3分（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=21MN．在Rt△ABC中，BC＝22ABAC=5．由（1）知△AMN∽△ABC．∴AMMNABBC，即45xMN．∴54MNx，∴58ODx．…………………5分过M点作MQ⊥BC于Q，则58MQODx．在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA．∴BMQMBCAC．∴55258324xBMx，25424ABBMMAxx．∴x＝4996．∴当x＝4996时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．∴△AMO∽△ABP．∴12AMAOABAP．