正余弦定理及解三角形整理(有答案)

1正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）A（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；c（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）bsinA＝cosB＝ca，cosA＝sinB＝cb，tanA＝ba。CB2.2．斜三角形中各元素间的关系：a如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。RCcBbAa2sinsinsin。（R为外接圆半径）3.正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R的常见变形：(1)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；(2)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R；(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(4)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.4.三角形面积公式：S＝12absinC＝12bcsinA＝12casinB.5.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理的公式：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC或222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用ABC中ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC2sincos,cossin,tancot222222ABCABCABC.9.解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=π；（2）边与边关系：a+bc，b+ca，c+ab，a－bc，b－ca，c－ab；（3）边与角关系：大角对大边，小角对小边。习题整理：一．直接应用，解三角形：1.在ABC中，已知45,2,3Bba，解三角形。A=60/120°2.在ABC中，已知,2,32,30ACABB求ABC的周长。a=2/43.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知B=2A,a=1,b=3,则c=________.24.在△ABC中，若A＝60°，a＝3，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝________.24**.在△ABC中，若A＝60°,b=1,3ABCS,则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝________.（3392）5.(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.16.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝________.367.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝π3，a＝2b，则b的值为________.38.（2012年高考（重庆文））设△ABC的内角ABC、、的对边分别为abc、、,且1cos4abC=1，=2，,则sinB____9.在ABC中,若CBA222sinsinsin,则ABC的形状是（）cA．钝角三角形.B．直角三角形.C．锐角三角形.D．不能确定.10.在△ABC中,AC=7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于（）A．32B．332C．362D．339411.在ABC中,若60A,45B,32BC,则AC（）A．43B．23C．3D．32312.在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若a=2,B=6,c=23,则b=______13.在ABC中,已知60,45,3BACABCBC,则AC_______.14.【2015高考广东，文5】设C的内角，，C的对边分别为a，b，c．若2a，23c，3cos2，且bc，则b（）A．3B．2C．22D．3【答案】B15.【2015高考福建，文14】若ABC中，3AC，045A，075C，则BC_______．【答案】216.【2015高考重庆，文13】设ABC的内角A，B，C的对边分别为,,abc,且12,cos,4aC==-3sin2sinAB=,则c=________.【答案】417.（2016年全国I卷高考）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知5a，2c，2cos3A，则b=（A）2（B）3（C）2（D）3【答案】D18、（2016年全国II卷高考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4cos5A，5cos13C，a=1，则b=____________.[【答案】211319.在ABC中，若0120,2Ab，三角形的面积3S，则三角形外接圆的半径为.3A.2B.23C.4D【答案】B20.ABC中，角,ABC,所对的边分别为,,abc．若13,3,60abA，则边c（）4A．1B．2C．4D．6【答案】C二．变形应用：1.在ABC中，222cbcba，则角A等于_________.1202.（教材）已知三角形的三边满足条件1)(22bccba，求角A.603.【2014年高考江西】在ABC中，内角,,ABC所对应的边分别为,,abc，若22()6cab，3C，则ABC的面积为（）A．3B．932C．332D．33【答案】C4.在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且222abcbc，=3a，S为ABC的面积，则3coscosSBC的最大值为（）（A）1（B）31（C）3（D）3【答案】C【解析】∵222abcbc，∴2221cos22bcaAbc，∴23A，设ABC外接圆的半径为R，则3222sinsin3aRA，∴1R，∴133coscossin3coscos3coscos24SBCbcABCbcBC3sinsin3coscos3cos()BCBCBC，故3coscosSBC的最大值为3．故选C．5.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且2220abcab．若ABC的面积为32c，则ab的最小值为（）5A．24B．12C．6D．4【答案】D6.已知a,b,c是ABC的边长，满足abcbacba))((，求C的大小。120三．边角互化问题：1.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinbA=3cosaB．则BA．6B．4C．3D．2【答案】C2.已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．3.BbAacoscos,试判断三角形的形状。等腰或直角。4.在ABC中，cbcaA则,3,32_________.15.（2013,辽宁）在ABC，内角,,ABC所对的边长分别为,,.abc1sincossincos,2aBCcBAb,abB且则（）AA．6B．3C．23D．566.（2011）（4）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a则ba（）D(A)23(B)22(C)3(D)27．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=3acosB.6(1)求角B的大小;60°(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.32,38.在ABC中，CbBcAacoscoscos2,求cosA=?219.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.(1)求cosA;（31）(2)若a=3,△ABC的面积为22,求b,c.(2,3)(3,2)10.ABC的周长为)12(4，且ACBsin2sinsin(1)求边长a的值.4(2)若AABCSsin3,求COSA的值。（31）11.（2016年天津高考）在ABC中，内角CBA,,所对应的边分别为a,b,c，已知sin23sinaBbA.(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若1cosA3，求sinC的值.解析：（Ⅰ）解：在ABC中，由BbAasinsin，可得AbBasinsin，又由AbBasin32sin得BaAbBBasin3sin3cossin2，所以23cosB，得6B；（Ⅱ）解：由31cosA得322sinA，则)sin()](sin[sinBABAC，所以7)6sin(sinAC6162cos21sin23AA12.（2016年四川高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cCbBaAsincoscos。（I）证明：sinAsinB=sinC；（II）若bcacb56222，求tanB。解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设(0)sinsinsinabckkABC则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC.代入coscossinABCabc中，有coscossinsinsinsinABCkAkBkA，可变形得sinAsinB=sinAcosB=sin(A+B).在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sinC，所以sinAsinB=sinC.（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=65bc，根据余弦定理，有2223cos25bcaAbc.所以sinA=241cos5A.由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，所以45sinB=45cosB+35sinB，故tanB=sincosBB=4.四．综合应用：1.【2015高考陕西，文17】ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，向量(,3)mab与(cos,sin)nAB平行.(I)求A；(II)若7,2ab求ABC的面积.8(I)因为//mn，所以sin3cos0aBbA由正弦定理，得sinsin3sincos0ABBA，又sin0B，从而tan3A，由于0A所以3A(II)解法一：由余弦定理，得2222cosabcbcA，而7,2ab，3A，得2742cc，即2230cc因为0c，所以3c，故ABC面积为133sin22bcA.2.【2015高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为315,12,cos,4bcA（I）求a和sinC的值;（II）求πcos26A的值.试题解析:（I）△ABC中,由1cos,4A得15sin,4A由1sin3152bcA,得24,bc又由2,bc解得6,4.bc由2222cosabcbcA,可得a=8.由sinsinacAC,得15sin8C.（II）2πππ3cos2cos2cossin2sin2cos1sincos6662AAAAAA,1573163.【2015高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,abc分别是ABC内角,