§4表象理论§4-1矢量和算符的矩阵表示§4-2表象变换§4-3若干矩阵计算§4-4连续本征值情况§4-1矢量和算符的矩阵表示在前面我们一直用符号和表示矢量,用符号A和B表示算符,用A一类的公式表示算符与矢量之间的关系,这种表示方法虽然简洁明确,适于理论推导,但是不够具体。在这一节里我们主要讨论如何用一组数字来具体地表示矢量和算符。这种方法与在物理空间中取一组直角坐标系,把各点的位置矢量用三个数字),,(zyx表示出来类似。K表象:取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K,用它们的共同本征矢量作为基矢:ikiKi完备性关系:iii1一、矢量的矩阵表示iiiiiiii,jjjjiiiijjjjiiiinn2121,右矢对应于一列矩阵:(4.1)iiiiiiiiiiiiiiii****,,将左矢对应一行矩阵:**2*1**2*1,nn(4.2)二、内积的矩阵表示iiiiii*nn21**2*1三、算符的矩阵表示AiiiAjjiijijA算符对应于方矩阵:iAjAjinnnnnnAAAAAAAAAA212222111211nnnnnnnnAAAAAAAAAA2121222211121121四、公式的矩阵表示:(4.3)(4.4)nnnnnnnnAAAAAAAAAA212222111211**2*1**2*1(4.5)对于两个算符的乘积,ABC,用完全性关系,有iBkkAjiCjk于是有nnnnnnnnnnnnnnnnnnBBBBBBBBBAAAAAAAAACCCCCCCCC212222111211212222111211212222111211kkijkjiBAC即nnnnnnnncccacccAAAAAAAAA2121212222111211本征值方程:aaaA移项,得021212222111211nnnnnnncccaAAAAaAAAAaA0212222111211aAAAAaAAAAaAnnnnnn久期方程:naaa,,,21解久期方程得本征值:代入本征方程可得本征矢量:nicccainiii,,2,1,21§4-2表象变换设有两个表象,K表象的基是}{i,L表象的基是}{,两组基的完全性关系:1,1iii(4.7)两组基之间的关系是iiiiiiUiiiiUU1,(4.8)(4.9)(4.10)式中iiijjiUUUU11(4.11)显然1iiiUiiiUU1设矢量在K表象和L表象中的矩阵表示分别为,,iiiiiiii(4.12)(4.13)(4.14)即表象变换就是由已知一组i求或反过来由已知一组求i的过程。设已知一组i,则iii即iiiU1(4.15)1、矢量的表象变换或写成矩阵形式:iiU1iiiU1(4.16)同样,相反的关系是iiU(4.17)(4.15)和(4.17)两式就是矢量的表象变换。设算符A在K与L表象中的矩阵分别为)(ijA和)(A:2、算符的表象变换AAAAiiij,jjiijiAAijjijiUAUA1右边是三个矩阵相乘,相反的关系是(4.18)、(4.19)式就是算符的表象变换。于是即(4.18)(4.19),jiijAA1jiijUAUA容易看出,表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示,但不改变二矢量内积以及A的数值。§4-3若干矩阵运算1、矩阵的迹:iiiAtrA迹的重要性质是)()(BAtrABtr(4.20)(4.21)2、矩阵的行列式nNCbanabcAAAAA321NncbanabcAAAA321detN是矩阵的阶,式中nabc的定义是其他情况,的奇置换是若,的偶置换是若,012311231NnabcNnabcnabc(4.22)矩阵的行列式的最重要的性质是BAABdetdet)det(证明:nNbanabcnabcABABABAB)()()(21)(BABBBBBBABBBAAABABABANnbancbancbaNnbancbancbaNnbancbannbbaanabcnabcNnnnbbbaaaanabcnabcdetdetdet)det()('''''''''''''''''''''''''''''''''''''''21212111BABBBAncbaNnbancbadetdetdet21detnnnabbbanabcaaaanabcBABABA2213、矩阵的相似变换方矩阵A用幺正矩阵U所作的如下变换:AUUA1称为相似变换,有两个矩阵A和B,若有幺正矩阵U存在,使AUUB1,则称为A和B二矩阵相似。算符的表象变换就是一种相似变换。注意,在数学上相似矩阵的定义扩大到U为有逆矩阵(即非奇异矩阵,0detU)的情况。相似矩阵的性质有:若A和B二矩阵相似,则trBtrABAdetdet我们定义:一个算符的迹和行列式为在任何表象中的矩阵的迹和行列式,因为后者的值在表象变换下是不变的。(4.25)(4.26)定理:任何厄米矩阵都可以通过相似变换(实际上是幺正变换)成为对角矩阵。证明:我们采取直接把变换矩阵给出来的证法。设在n维空间中取定一个表象后,厄米矩阵A便成为某一厄米算符A的表示矩阵,而算符A肯定有n个相互正交的归一化的本征矢量),,,2,1(nii写成一列矩阵形式为)(21)2(22212)1(12111,,,nnnnnnn)()()()()()()()()((4.27)式中)(ij是第i个本征矢量的第j个分量,现在,用这些分量构造一个幺正矩阵U,取)(ijjiU,即)(ijjiU)()()()()()()()()(nnnnnnU212221212111(4.28)这个幺正矩阵U就可以把厄米矩阵A对角化。首先证明U是幺正矩阵。由于)(ij彼此正交,ijkjkikji)()*()()(ijjkkikkkjkikkjikijUUUUUU)()*(*)()(所以证明了1UU,同样也有1UU,所以U是幺正的,UU1。其次证明厄米矩阵A经过U的幺正变换后确是对角矩阵。但是,)(j是A的本征矢量,)()(jjjaA,写成矩阵形式即)()(jkjljlklaA于是,上式成为ijjkjkjikijaaA)()*('证明变换后的矩阵AUUA1'是一个对角阵,其对角元即是A的本征值。而本征值ja若是m重简并时,则ja在对角元中出现m次。定理证毕。kljlklikklljklkiklljklikijijAUAUUAUAUUA)(*)(*1)(§4-4连续本征值情况设在无穷维空间中取K表象,而厄米算符(或对易的厄米算符完备组)K具有在某一区间内的连续本征值谱。kkkK完全性关系:1kdkk(4.30)空间中的任意矢量和,都能表为这一组基矢}{k的叠加:dkkkkdkk)(dkkkkdkk)((4.31)(4.32)式中)(k和)(k仍称为矢量和在基矢k上的分量,这时他们是k的连续的复函数。两个矢量的内积可以用函数形式表出:dkkkkdkk)()(*(4.33)算符A作用于上得出A'''kdkkAkk''')(),()(dkkkkAk可见,算符A在K表象中是变量k和'k的双变量函数,它对于)(k的作用是先把中的变量k换为'k,然后用),('kkA相乘并对'k积分,得到的k的函数就是)(k。(4.34)K表象:连续表象中的函数)(k可理解为下标连续改变的一列矩阵,而把),(kkA看成下标连续改变的方矩阵:kkk)(***)(kkk''),('kkkkAAkkA而所有的运算都是矩阵的乘法,对于连续表象,原来对i的取和改变为对k的积分。这样,就把离散表象和连续表象的记法作到了完全的一一对应。今后为了书写方便我们进一步约定:认为i和)(k两种写法是完全无区别的而任意使用,在连续表象中可以写i而把i理解为连续变化的k,在离散变换中也可以写)(k,那时就将其理解为k而将k理解为离散的下标。