概率与统计知识点

概率与统计知识点（画横线的一定要默写）1、条件概率,，2、分布列（一般x可能的值不超过6个，超过的话考虑二项分布、超几何分布），3，二项分布，4，超几何分布，5，正态分布，6，回归方程，7，独立性检验7、条件概率的定义：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，则))()(|APABPABP）（称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．注意：（1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1．（2）如果B和C是互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)＋P(C|A)．（3）要注意P(B|A)与P(AB)的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键．注：概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：联系：事件A，B都发生了．区别：样本空间不同：在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为W．例4、从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞．求2张都是假钞的概率．解：令A表示“2张中至少有1张假钞”，B表示“2张都是假钞”．．则所求概率为Ｐ（B|A）．，．．即所求概率为．例5、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？（3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？解：记A为“甲地为雨天”，B为“乙地为雨天”．（1）32（2）53（3）．例6．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解：（1）283（2）1278、几何概型的定义：()APA构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）[例1]甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。解：167604560222P[例2]设A为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A连接，求弦长超过半径2倍的概率。解：212RRBCDP圆周[例3]将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过21的概率。解：412181P[例4]两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机只有离基地25km范围内才能收到，下午3：00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。解：19225120025412P[例6]将长为L的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率．解221122()42LMPML·的面积的面积．ξ的分布列.1x2x…ix…P1p2p…ip…有性质：①,2,1,01ip；②121ippp.(1).期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称nnpxpxpxE2211为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2).方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(kpxPkk时，则称nnpExpExpExD2222121)()()(为ξ的方差.显然0D，故.D为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.．（3）离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差(1)离散型随机变量的数学期望：2211pxpxE…；期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差：222121)()(pExpExD…nnpEx2)(…；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：baEbaE)(；DabaD2)(.(4)若～B(n，p)，则npE;D=npq（这里q=1-p）;如果随机变量服从几何分布，),()(pkgkP，则pE1，D=2pq其中q=1-p.3.⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：knkknqpCk)P(ξ[其中pqnk1,,,1,0]于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记p)nb(k;qpCknkkn.记作，并称p为成功概率.随机变量的分布列如下：01…k…nPnnqpC00111nnqpC…knkknqpC0qpCnnn⑷超几何分布一般地,在含有件次品的件产品中，任取件,其中恰有件次品数,则事件发生的概率为,于是得到随机变量的概率分布如下：01……其中,.我们称这样的随机变量的分布列为超几何分布列,且称随机变量服从超几何分布.注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；⑵超几何分布中的参数是其意义分别是总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.1.正态分布的概念及主要性质（1）正态分布的概念如果连续型随机变量的概率密度函数为222)(21)(xexf，xR其中、为常数，并且＞0，则称服从正态分布，记为~N（，2）.（2）期望E=μ，方差2D.（3）正态分布的性质正态曲线具有下列性质:①曲线在x轴上方，并且关于直线x＝μ对称.②曲线在x=μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.③曲线的对称轴位置由μ确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”；反之越“高瘦”.当=0，=1时服从标准的正态分布，记作~N（0，1）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.2.⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：.（为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：.⑶正态曲线的性质.①曲线在x轴上方，与x轴不相交.②曲线关于直线对称.③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.