大学物理常用高数基础知识

补高等数学：矢量（向量）代数（同济大学《高等数学》第五版第7章第一、二节）一、矢量（向量）的概念及其表示1.标量与矢量（向量）代数量：有大小和正负（温度、时刻、电流、功、势能……）既有大小又有方向（力、速度、加速度、力矩、动量……）标量算术量（质量、时间间隔、动能……）矢量：2.矢量的表示（1）图示：有（方）向线段：AB长度是矢量的大小箭头方向是矢量的方向（3）矢量的平行：a//b（箭头指向可相同或相反）AB（1）（3）（4）矢量的相等：——大小、方向（含指向）都相同所以，一般情况下，矢量可以任意平行移动，也称自由矢量。ba（2）符号：粗（黑）体或加箭头：a，b或ba,（5）负矢量：-a（与a大小相同、方向（指向）相反）（4）（5）3.矢量的模：4.单位矢量：，仅用来表示方向。所以：kajaiaazyxaa或0rr0r0rrr注：空间直角坐标系X、Y、Z轴的单位矢量分别为kji,,5.矢量的坐标分解式（分量式）矢径（向径：从原点出发的矢量）rxiyjzkijk一般地：其中，ax、ay、az或x、y、z分别称为矢量在X、Y、Z轴上的分量或投影。而注意：分量是代数量（可正可负）！恒为正所以，矢径或其末端的点P都可以用三个坐标（x，y，z）来表示.kajaiazyx,,则称分矢量（分向量）由若P点（或矢径）在YOZ平面上，则x=0；若P点（或矢径）在ZOX平面上，则y=0；若P点（或矢径）在XOY平面上，则z=0。若P点（或矢径）在x轴上，则y=z=0；若P点（或矢径）在y轴上，则x=z=0；若P点（或矢径）在z轴上，则x=y=0。若P点为原点，则x=y=z=0rxiyjzk或P（x，y，z）可知：rrrrrr6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向大小：矢径的大小：222rrxyz一般地：222xyzaaaaa方向：方向角、、或方向余弦：cosxaacosyaacoszaa7.已知矢量的模和方向角（或方向余弦）求矢量的分量cos,cos,cosaaaaaazyx注意：因为方向角可以是锐角或钝角，因此方向余弦可正可负，所以矢量的分量也可正可负，是代数量。二、矢量的加减法1.矢量相加的平行四边形法则（见图7-3）2.矢量相加的三角形法则（见图7-2）3.多个矢量相加的多边形法则（见图7-5）5.矢量的减法因为：cababc由矢量相加的三角形法则可得：即：从同一点出发作减矢量和被减矢量，则从减矢量的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量。4.矢量的加法所满足的运算规律（1）交换律：（2）结合律：abbacbacbacba6.矢量加减的坐标表示式kajaiaazyxkbjbibbzyxkbajbaibabazzyyxx三、矢量与数量的乘法1.定义：aa模（大小）：a方向当λ0时（可视为）方向与相同当λ0时（可视为）方向与相反aaaa2.满足的运算规律（1）与另一个数量相乘的结合律：aaababaaaa3.矢量与数量相乘的坐标表示式kajaiakajaiaazyxzyx（2）分配律：四、两矢量的标量积（标积、数量积、点积、点乘）1.定义：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功：sfsFsFFsA,coscos一般地：abbababababajPrjPr,cosθ2.两个推论：（1）20cosaaaaakkjjii1（2）若两非零矢量，则ba02cos0ba反之，若，则必有0babaikkjji0注意；“点”不能掉！3.标量积满足的运算规律（1）交换律：babaabba,cos（2）分配律：cbcacba（3）满足一定条件下的结合律（略）4.标量积的坐标（分量）表示式zzyyxxzzyzxzzyyyxyzxyxxxzyxzyxbababakkbajkbaikbakjbajjbaijbakibajibaiibakbjbibkajaiaba一般地：bac大小：babac,sin方向：垂直于所决定的平面，指向按的顺序，用右（手）螺旋法则确定。baba和五、两矢量的矢量积（矢积、向量积、叉积、叉乘）1.定义：如力矩：大小：sinFrFdM力矩是矢量，方向沿转轴，指向按的顺序，用右（手）螺旋法则确定。Fr注意；“×”不能掉！抽象出矢量积：FrM大小：FrFrM,sin方向见上rFd2.两个推论：（1）00sin0aa（2）若两个非零矢量，则：ba//0sin0sin0或aa反之，若，则必有：0aaba//3.满足或不满足的运算规律（1）不满足交换律，而是：（2）满足分配律：（3）满足如下的结合律：baabcbcacbabababa4.矢量积的坐标（分量）表示法和行列式表示法kbabajbabaibabaibajbaibakbajbakbakbjbibkajaiabaxyyxzxxzyzzyyzxzzyxyzxyxzyxzyx000zyxzyxbbbaaakjiba或5.矢量积（大小）的几何意义以为邻边的平行四边形的面积。ba、ab作业：﹡阅读《高等数学》P289—307﹡整理笔记或小结（点乘、叉乘对照）复习：标量积和矢量积标量积满足交换律：abbacos,cosbababababac大小：babac,sin方向：垂直于所决定的平面，指向按的顺序，用右（手）螺旋法则确定。baba和矢量积不满足交换律，而是：baab标量积：矢量积：baab微积分（《高等数学》第二章第一、二、三、五节；第四章第一、五节；第五章第一、二节）第一节导数与微分一、导数的概念实例：直线运动的速度直线取为s轴，则质点在任一时刻t的位置s（即动点的坐标）是时间t的函数，记为：tsstfs或如匀速直线运动：若设0,0st时vttsvttfvts或即,对匀加速直线运动：若设202021,21attvtstfattvs或即00,0vvst，时0s0t则有则有下面求某一时刻t0的（瞬时）速度匀速运动：瞬时速度等于平均速度tstttststtssvv0000非匀速运动：t0到t时间段的平均速度：tsttssv000s0tt0ts0欲求t0的瞬时速度，可令t接近于t0，则此时平均速度的极限值就是t0时刻的瞬时速度。即dtdststttstsvttt000limlim0称为s对t的导数即：瞬时速度等于质点的位置（坐标）对时间的导数一般地，若y是x的函数，y对x的导数：0000limlimxxxyxyxydxdyxyxxx注：（1）在某一个点的导数记为：（2）导数的意义：函数随自变量的变化率。00,xxxdxdyxy二、常用的导数公式：xxxxxxeeeeaaaxxCCexxxxsincos7cossin61ln51logln4ln32011为常数0000limlimxxxyxyxydxdyxyxxx三、函数的和、差、积、商的导数2.4.3.2.1,vvuvuvuvuvuuvCuCCuvuvuxvvxuu外即常数可提到导数符号为常数都可导，则设四、复合函数的求导法则例如：作简谐振动的质点的位置x是时间t的函数：dxdududydxdyxgufdxdyxgfyxguufy或则：即：而若,,,0000sin0sin,cos,costAAdtdddxdtdxvtAxAtAx质点的速度：而可看成：为常数）、、（例1求匀速直线运动的速度：若设0,0sst时,0vtss求匀加速直线运动的速度：若设,21200attvss00,0vvsst，时则：则有vdtdtvvtdtddtdsdtdsv000s0tts0所以速度：例2atvtavdttdavatdtdtvdtddtdsv002020022121021所以速度：五、高阶导数例如：直线运动的速度是时间的导数svdtdsv或而加速度又是速度随时间是变化率即导数，所以可得：22dtsddtdsdtddtdvassva或这种导数的导数称为二阶导数。一般地，y对x的二阶导数为：22dxyddxdydxdy类似地，可定义三阶、四阶…导数，统称高阶导数。例：匀速直线运动,0vtss加速度022vdtddtdsdtddtsdavdtdsv又如，匀加速直线运动：例1：,21200attvssaatvdtddtdsdtddtsda022tRxtRxtRxsin,cos,sin2例2：,,,,xxxxeyeyeyey六、微分1.微分的概念：dxxfdydxdyxfdy、dx（以及前面的ds、dt）都叫做微分。所以，也称微商（二微分之商）ll'dlll'dl0冷缩：注：物理上也常指一个量（分成无限多份）其中（无限小的）一份：lLdldxdyy微分的含义：微小（无限小）增量。如热胀：2.微分和导数的几何意义dx、dy分别是曲线上某点x、y坐标的微小增量；而导数是曲线这一点处切线的斜率。dxdytandxdy3.函数的微分公式（等于导数公式乘以自变量的微分）（见P115—116）4.微分的运算法则、和、差、积、商的微分、复合函数的微分（与导数类似，见P116）（见P115图2-11）P117例3：例4：dxxdyxy12cos212sindxexedxxeedyeyxxxxx22222122111ln例5：dxxxedxxexedyxeyxxxxsincos3sincos3cos31313131第二节积分一、不定积分的概念原函数：设F（x）的导（函）数是f（x），即dxxfxdFxfxF或那么，F（x）就称为f（x）的原函数。例如为任意常数）CCxFdxxf(即积分是已知导（函）数求原函数，而求导（微分）是已知原