线性代数复习要点

1线性代数复习要点第1章矩阵一、特殊矩阵方阵，同型矩阵，行矩阵（或行向量），列矩阵（或列向量），零矩阵0；基本矩阵ijE，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵E，三角矩阵；对称矩阵，反对称矩阵，矩阵A与B可交换；矩阵的幂，矩阵的多项式；行满秩矩阵，列满秩矩阵，满秩矩阵（可逆矩阵），降秩矩阵，非奇异矩阵，奇异矩阵；阶梯矩阵，最简阶梯矩阵，等价标准形；矩阵的等价，初等矩阵；分块矩阵，分块对角矩阵，分块三角矩阵．二、矩阵的运算性质1、TTTTTTTTTT(),(),(),()kkAAABBAAAABAB．2、11111111111(),(),(),()kkAAABBAAAABAB．3、**2****1****()||,(),(),()nnkkAAAABBAAAABAB．4、1TT11**1*TT*()(),()(),()()AAAAAA．5、TTTAABB，TTTABBA；当,AB可逆时，有111AABB，111ABBA．三、分块矩阵的求逆公式当,AB可逆时，有11111ACAACBBB00，11111AACBBCAB00．四、重要结论1、矩阵的初等变换都是可逆的，且其逆变换也同一种类的初等变换．2、有限次初等行变换可以把矩阵化为阶梯矩阵或者最简阶梯矩阵．3、任何矩阵总可以经过有限次初等变换化为等价标准形．4、对矩阵mnA进行一次某种初等行（或列）变换，相当于用同种m阶初等矩阵左乘（或n阶初等矩阵右乘）矩阵A．5、矩阵A可逆当且仅当A可以只经有限次初等行变换或者只经有限次初等列变换化为单位矩阵．6、矩阵A可逆当且仅当A可以表示成有限个初等矩阵的乘积．7、矩阵A的等价标准形中1的个数称为A的秩，它等于A的非零子式的最高阶数．28、初等变换不改变矩阵的秩．9、矩阵秩的关系式(1)TrankrankAA；(2)rank()rank(0)kkAA；(3)rankmin{,}mnA；(4)设,PQ是可逆矩阵，则rank()rank()rank()rankPAAQPAQA；(5)rankrankrankAABB00，rankrankrankAABB00；(6)max{rank,rank}rank[]rankrankABABAB；(7)rankrankrank()rankrankABABAB；(8)Sylvester不等式：设A为mn矩阵，B为ns矩阵，则rankrankrank()min{rank,rank}nABABAB；特别地，当mnnsAB0时,有rankranknAB；(9)对于实矩阵A，有rank()rank()rankAAAAA．第2章行列式一、行列式的概念n阶行列式A或detA是n阶矩阵[]ijaA按下述运算法则得到的一个算式：当1n时，1111aaA；当2n时，1111121211nnaAaAaAA，这里111(1)(1,2,,)jjjAMjn，其中1jM称为1ja的余子式，1jA称为1ja的代数余子式．矩阵[]ijaA的行列式A的完全展开式为1212()njjnjaaaA，它是!n项的代数和，每一项都是不同行不同列的n个元的乘积．二、行列式的性质1、行列式按行（列）展开法则11221||nikjkijijinjnijkaAaAaAaAΑ，11221||nkikjijijninjijkaAaAaAaAΑ，其中Kronecker符号0,,1,.ijijij32、初等变换的性质(1)对调变换使得行列式的值反号；(2)倍乘变换只是放大或缩小行列式的值；(3)倍加变换不改变行列式的值．3、加法原理：若行列式的某一行（或列）的元都是两数之和，则此行列式等于两个行列式的和．4、乘积法则：对任何n阶矩阵A和B，均有||||||ABΑB．5、转置运算不改变行列式的值．三、行列式的计算1、典型方法：三角化方法、降阶法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法．2、设A为n阶矩阵，k为任意数，则nkkAA．3、设A为方阵，则||||kkAA．4、设A为可逆矩阵，则11||||AA．5、设A为方阵，则||0A当且仅当A的全部特征值不为0．6、分块对角矩阵和分块三角矩阵的行列式：1212diag(,,,)ssAAAAAA；||||AABCB0，||||ADABB0，(1)||||00mmnmnnAABB．7、设2n，n阶Vandermonde行列式nV的(,)ij元为1(,1,2,,)ijxijn，且1()nijjinVxx．四、伴随矩阵的性质1、ΑAAAAE．2、当A可逆时，有11ΑAA，1ΑAA，111()()AΑAA．3、1nAA，1()nkkAA，2()||nAAA，TT()()AA．4、,rank,rank1,rank1,0,rank1nnnnAAAA.5、A为可逆矩阵的充要条件是0A．6、若A可逆，且为A的特征值，则A有一个特征值为|A|．7、当,AB可逆时，有()ABBA，***||||ABABAB，***||(1)||mmnnAABBBA．4第3章线性方程组一、线性方程组的基本概念mn线性方程组，解集，同解方程组；方程组相容（有解）、不相容（矛盾或无解）、有唯一解，特解，通解（一般解）；系数矩阵，未知量向量，常数项向量，增广矩阵，矩阵方程．二、消元法对增广矩阵进行初等行变换的过程：先化为阶梯矩阵（消元），再化为最简阶梯矩阵（回代）．三、线性方程组解的判别准则对于n元线性方程组Axb，(1)无解的充分必要条件是rankrank[]AAb；(2)有唯一解的充分必要条件是rank[]ranknAbA；(3)有无限多解的充分必要条件是rank[]ranknAbA．四、克莱姆(Cramer)法则(1)如果nn线性方程组Axb的系数行列式|0|A，则方程组有唯一的解11xAA，22xAA，，nnxAA，其中(1,2,,)jjnA是用常数项向量b替代A中的第j列得到的行列式．(2)nn齐次线性方程组Ax0有非零解的充要条件是系数行列式||A．五、线性方程组解的结构1、齐次线性方程组的解对向量加法和数乘是封闭的．2、齐次线性方程组Ax0的每个基础解系都含ranknA个解向量．3、记(){|}nmnNAxAx0，则()NA是n的向量子空间，dim()NnrA．4、非齐次线性方程组的解对向量加法和数乘是不封闭的．5、非齐次线性方程组Axb的任意两解之差是其导出方程组Ax0的解．6、非齐次线性方程组的通解等于它的一个特解与导出方程组的通解之和．第4章向量一、n维向量的线性运算规律矩阵的线性运算也适合于向量，且向量的加法与数乘也满足矩阵的线性运算的八条运算规律．二、向量组的线性表示1、给定向量β和向量组12,,,mααα，若存在一组数12,,,mkkk，使得1122mmkkkβααα，则称β可由向量组12,,,mααα线性表示，或称β为向量组12,,,mααα的线性组合．2、设有n维向量组12,,,mααα和n维向量b，12[]mAααα，则下列三个命题等价：5(1)向量b可由向量组12,,,mααα线性表示；(2)线性方程组Axb有解；(3)rankrank[]AAb．3、向量b可由向量组12,,,mααα唯一线性表示当且仅当1212rank[]rank[]mmmααααααb．三、向量组的线性相关性1、给定向量组12,,,mααα，若存在一组不全为零的数12,,,mkkk，使得1122mmkkkααα0，则称向量组12,,,mααα线性相关，否则称向量组12,,,mααα线性无关．也就是说，若12,,,mααα线性无关，则上式成立当且仅当120mkkk．2、设矩阵12[]mAααα，则下列三个命题等价：(1)向量组12,,,mααα线性相关；(2)齐次线性方程组Ax0有非零解；(3)rankmA，即A的秩小于向量组所含向量的个数m．3、设矩阵12[]mAααα，则下列三个命题等价：(1)向量组12,,,mααα线性无关；(2)齐次线性方程组Ax0只有零解；(3)rankmA，即A的秩等于向量组所含向量的个数m．4、一个向量α线性相关当且仅当α0．向量组12,αα线性相关当且仅当12,αα对应分量成比例．5、向量β可由向量组12,,,mααα线性表示、且表示式是唯一的当且仅当向量组12,,,mααα线性无关、而向量组12,,,,mαααβ线性相关．6、n维基本向量组12,,,neee线性无关．7、对于n维向量组12,,,mααα，如果mn，那么12,,,mααα必定线性相关．8、若一个向量组线性无关，则它的每个部分组都线性无关；若一个向量组的某个部分组线性相关，则该向量组线性相关．9、若一个向量组线性无关，则它的升维组也线性无关；若一个向量组线性相关，则它的降维组也线性相关．10、向量组12,,,(2)mmααα线性相关当且仅当该向量组中至少有一个向量能由其余1m个向量线性表示．向量组12,,,(2)mmααα线性无关当且仅当该向量组中任意一个向量都不能由其余1m个向量线性表示．11、矩阵的初等行变换不改变列向量之间的线性相关性和线性组合关系；矩阵的初等列变换不改变行向量之间的线性相关性和线性组合关系．四、等价向量组1、若向量组()Ⅱ中每个向量都可由向量组()Ⅰ线性表示，则称向量组()Ⅱ可由向量组()Ⅰ线性表示．若向量组()Ⅰ和向量组()Ⅱ能相互线性表示，则称向量组()Ⅰ与向量组()Ⅱ等价．向量组的等价具有自反性、对称性和传递性．62、设矩阵12[]rAααα，12[]sBβββ，那么(1)向量组12,,,sβββ能由向量组12,,,rααα线性表示当且仅当矩阵方程AXB有解，即rankrank[]AAB．(2)向量组12,,,sβββ与向量组12,,,rααα等价当且仅当矩阵方程AXB与BYA均有解，即rankrankrank[]ABAB．3、若向量组12,,,sβββ能由向量组12,,,rααα线性表示，且sr，则向量组12,,,sβββ线性相关．若向量组12,,,sβββ能由向量组12,,,rααα线性表示，且12,,,sβββ线性无关，则sr．4、若两个线性无关的向量组等价，则它们所含向量个数相等．5、矩阵的等价与向量组等价的异同同型矩阵A与B等价有如下三个充要条件：(1)存在可逆矩阵P和Q使得PAQB；(2)存在可逆矩阵,,,PQRS，使得=rEPAQRBS000；(3)rankrankAB．两个n维向量组12,,,rααα与12,,,sβββ等价的充要条件是存在矩阵X和Y，使得12121212[][],[][]rssrαααβββXβββαααY．若向量组12,,,rααα与12,,,sβββ等价，则矩阵12[]rAααα与12[]sBβββ等价，反之不真．五、向量组的极大线性无关组1、若向量组()Ⅰ中有含r个向量的部分组()Ⅱ线性无关，且向量组()Ⅰ中任何1r个向量都线性相关，则称()Ⅱ是向量组()Ⅰ的一个极大线性无关组．2、向量组()Ⅰ的部分组()Ⅱ为()Ⅰ的极大线性无关组当且仅当()Ⅱ线性无关、且()Ⅰ中任何向量都可由向量组()Ⅱ线性表示．3、一个向量组的极大线