高中数学苏教版必修一第三章指数函数对数函数和幂函数章末复习课-最新

本课时栏目开关画一画研一研画一画·知识网络、结构更完善本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效题型一指数、对数的运算1．指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效例1计算：2log32－log3329＋log38－3log525.解原式＝log34－log3329＋log38－3log255＝log34×932×8－5log95＝log39－9＝2－9＝－7.本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练1计算80.25×42＋(32×3)6＋log32×log2(log327)的值为________．解析∵log32×log2(log327)＝log32×log23＝lg2lg3×lg3lg2＝1，111∴原式＝432×412＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效题型二数的大小比较数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效例2比较下列各组数的大小．(1)40.9，80.48，5.121；(2)log20.4，log30.4，log40.4.解(1)40.9＝21.8，80.48＝21.44，5.121＝21.5，∵y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴40.95.12180.48.(2)∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，∴log0.44log0.43log0.42log0.41＝0.又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，所以1log0.421log0.431log0.44，即log20.4log30.4log40.4.本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练2比较下列各组数的大小．(1)27，82；(2)log0.22，log0.049；(3)a1.2，a1.3；(4)0.213，0.233.解(1)∵82＝(23)2＝26，由指数函数y＝2x在R上单调递增知2627即8227.(2)∵log0.049＝lg9lg0.04＝lg32lg0.22＝2lg32lg0.2＝lg3lg0.2＝log0.23.又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，∴log0.22log0.23，即log0.22log0.049.本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效(3)∵函数y＝ax(a0且a≠1)，当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a小于1时在R上是减函数，而1.21.3，∴当a1时，有a1.2a1.3；当0a1时，有a1.2a1.3.(4)∵y＝x3在R上是增函数，且0.210.23，∴0.2130.233.本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效题型三复合函数的单调性1．一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，如果t＝g(x)在(a，b)上是单调函数，并且y＝f(t)在(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么y＝f(g(x))在(a，b)上也是单调函数．2．对于函数y＝f(t)，t＝g(x)．若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域．本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效例3已知a0，且a≠1，试讨论函数f(x)＝2617xx+a的单调性．解设u＝x2＋6x＋17＝(x＋3)2＋8，则当x≤－3时，其为减函数，当x－3时，其为增函数，又当a1时，y＝au是增函数，当0a1时，y＝au是减函数，所以当a1时，原函数f(x)＝2617xx+a在(－∞，－3]上是减函数，在(－3，＋∞)上是增函数．当0a1时，原函数f(x)＝2617xx+a在(－∞，－3]上是增函数，在(－3，＋∞)上是减函数．本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练3求下列函数的单调区间：(1)y＝log0.2(9x－2×3x＋2)；(2)y＝loga(a－ax)．解(1)令t＝3x，u＝9x－2×3x＋2＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1≥10.又y＝log0.2u在定义域内递减，∴当3x≥1(t≥1)，即x≥0时，u＝9x－2×3x＋2递增，∴y＝log0.2(9x－2×3x＋2)递减．同理，当x≤0时，y＝log0.2(9x－2×3x＋2)递增．故函数y＝log0.2(9x－2×3x＋2)的递增区间为(－∞，0]，递减区间为[0，＋∞)．本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效(2)①若a1，则y＝logat递增，且t＝a－ax递减，而a－ax0，即axa，∴x1，∴y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上递减．②若0a1，则y＝logat递减，且t＝a－ax递增，而a－ax0，即axa，∴x1，∴y＝loga(a－ax)在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y＝loga(a－ax)在其定义域上递减．本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效题型四幂函数、指数函数、对数函数性质的综合应用指数函数与对数函数性质的对比：指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系．(1)指数函数y＝ax(a0，a≠1)，对数函数y＝logax(a0，a≠1，x0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系．a变化时，函数的图象和性质也随之变化．(2)指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax(a0，a≠1，x0)的图象恒过定点(1,0)．(3)指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1，x0)具有相同的单调性．(4)指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1，x0)互为反函数，两函数图象关于直线y＝x对称．本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效例4已知函数f(x)＝lg1＋2x＋a·4x3在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．解因为f(x)＝lg1＋2x＋a·4x3在(－∞，1]上有意义，所以1＋2x＋a·4x0在(－∞，1]上恒成立．因为4x0，所以a－14x＋12x在(－∞，1]上恒成立．令g(x)＝－14x＋12x，x∈(－∞，1]．本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效由y＝－14x与y＝－12x在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，所以g(x)max＝g(1)＝－14＋12＝－34.因为a－14x＋12x在(－∞，1]上恒成立，所以a应大于g(x)的最大值，即a－34.故所求a的取值范围为－34，＋∞.本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效跟踪训练4已知函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)．(1)判断函数的奇偶性；(2)若f(x)＝lgg(x)，判断函数g(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明．解(1)由1＋x01－x0，得－1x1，∴x∈(－1,1)，关于原点对称，又f(－x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．本课时栏目开关画一画研一研研一研·题型解法、解题更高效(2)g(x)在(0,1)上单调递减．证明如下：∵f(x)＝lg(1－x2)＝lgg(x)，∴g(x)＝1－x2，任取0x1x21，则g(x1)－g(x2)＝1－x21－(1－x22)＝(x1＋x2)(x2－x1)，∵0x1x21，∴x1＋x20，x2－x10，∴g(x1)－g(x2)0，∴g(x)在(0,1)上单调递减．本课时栏目开关画一画研一研1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的全过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．本课时栏目开关画一画研一研