2.2.3--向量数乘运算及其几何意义

太谷中学2020年空中课堂必修4第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义高一数学组学科：数学如何求作两个非零向量的和向量？首尾相接首尾连OBABOAabOABabab提示:如何求作两个非零向量的差向量？首同尾连指被减BAOBOAOABababab提示:问题：一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为，那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是吗?请同学们自己思考.a3a3a思考1：已知非零向量，如何求作向量＋＋和（－）＋（－）＋（－）？OABCOMNPOC=uuur微课1向量数乘的定义aaaaaaaaaaaaaaaaa（－）＋（－）＋（－）OPaaa提示:思考2：向量＋＋和(-)+(-)+(-)分别如何简化其表示形式？aaaaaa思考3：向量3和－3与向量的大小和方向有什么关系？OABCOMNPaaaaaaaaaa＋＋记为3，（－）＋（－）＋（－）记为－3.aaaaaaaa提示:思考4：设为非零向量，那么还是向量吗？它们分别与向量有什么关系？a2a2a3和-a2a3a2a-提示:（1）|λ|=|λ|||；（2）λ0时,λ与方向相同；λ0时,λ与方向相反；λ=0时,λ=.aa思考5：一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作λ，该向量的长度及方向与向量有什么关系？aaaaaaaa0提示:下列各式中不表示向量的是()A．0·a→B．a→＋3b→C．|3a→|D．1x－ye→(x，y∈R，且x≠y)C【即时训练】微课2向量数乘的运算律及共线向量基本定理思考1：你认为－2×（5），2(＋)，可分别转化为什么运算？a（3+2）aab-2×(5)=-10；2(+)=2+2(3＋)=3＋2a.2aaaaaabb提示:思考2：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μ)，(λ＋μ)，λ(＋)分别等于什么？abaaaa2a6)2(3a)2(3a6a?=1(a)()a（）提示:(23)aa2a32()aaa（）(23)23?aaaa提示:2()22?abab3()abab（）abba22abAa2b2BCDE提示:提升总结：向量数乘的运算律1()()aa（）2()aaa（）3()abab（）思考3：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量，，以及任意实数λ，x，y，λ(x±y）可转化为什么运算？aaλ(x±y）=λx±λy.ababbb提示:思考4：对于向量（）和，若存在实数λ，使=λ，则向量与的方向有什么关系？baa0baab思考5：若向量（）与共线，则一定存在实数λ，使=λ成立吗？abba思考6：综上可得向量共线定理：向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λ.若＝，上述定理成立吗？abbaa0提示：共线提示：一定存在提示：不成立a0a0思考7：若存在实数λ，使，则A，B，C三点的位置关系如何？ABBCABBCA，B，C三点共线提示:已知AB→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3(a－b)，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线B【即时训练】例1.计算（1）（－3）×4；（2）3（＋）－2（－）－；（3）（2＋3－）－（3－2＋）.aaaaaac（1）原式=(-3×4)a=-12a;（2）原式=3a+3b-2a+2b-a=5b;（3）原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.bbbbc向量与实数之间可以像多项式一样进行运算.【解析】【解题关键】利用数乘向量的运算计算．【解析】(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.(2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.计算：(1)3(6a＋b)－9a＋13b；(2)123a＋2b－a＋12b－212a＋38b；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.【变式练习】【方法规律】1．要注意向量的线性运算的结果仍是一个向量．2．向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号再算中括号，将相同的向量看作同类项进行合并．【互动探究】若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为()A．－aB．－4bC．cD．a－b【解析】3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.A23O例2.如图，已知任意两个非零向量试作你能判断A，B，C三点之间的位置关系吗？为什么？ABCAC=2ABA，B，C三点共线.a,b，OAab＋，OBabOCab＋2，＋3.baabbb分析：【解析】分别作向量，过点A，C作直线AC.观察发现，不论向量怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A，B，C三点共线.事实上，因为OAOBOC,,ABOBOAa2b(ab)b,=-而AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b,于是AC=2AB.所以，A,B,C三共.点线ab,在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ABADAO，则_____．2【变式练习】例3.如图，□ABCD的两条对角线相交于点M，且=，=，你能用,表示，，和吗？ABADMAMBMCMD在平行四形ABCD中，因AC=AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a-b.又因平行四形的角互相平，解:分边为为边两条对线1所以MA=-AC2111=-(a+b)=-a-b;222brabraMABDCabr1111MB=DB=(a-b)=a-b;2222111MC=AC=a+b;222111MD=-MB=-DB=-a+b.222如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M，N，C三点共线.31ABCDMN提示：设，AB=aBCb,则11ab,631ab2MC113ab63（）.MN【变式练习】1.,R,,()(1)0,a0,aa;(2)0,a0,aa;(3)0,a0,aa;(4)0,a0,aa;(5)0,a0,aa.A.2B.3C.4D.5已知则在以下各命题中正确的说法共有与方向一定相反与方向一定相同与是共线向量与方向一定相同与方向一定相反个个个个D2.下列叙述不正确的是()A．若a、b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.B.b＝3a(a为非零向量)，则a、b共线C．若m＝3a＋4b，n＝32a＋2b，则m∥nD．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c【解析】判断a与b共线的方法是：存在实数λ，使a＝λb.在A中，若b＝0时不成立．B正确．在C中，m＝2n，∴m∥n，∴C正确．D也正确，所以应选A.A3.点P是△ABC所在平面内一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上B4.已知|a|＝4，b与a的方向相反，且|b|＝2，a＝mb，则实数m＝________.-25．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_________．126.设a，b是不共线的两个非零向量，记=ma，=nb，=αa+βb，其中m，n，α，β均为实数，m≠0，n≠0，若M，P，N三点共线，则+=_________.【解析】若M，N，P三点共线，则存在实数λ，使得=λ，所以-=λ(-)，所以(1+λ)=+λ，即==a+b，因为a，b不共线，所以所以+=+=1.定义运算律数乘向量应用