第一讲-不等式和绝对值不等式(1)

选修４-５不等式选讲本专题知识结构第一讲不等式和绝对值不等式第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式第二讲证明不等式的基本方法不等式选讲AaBbAaBbbaababa-b0aba-b0b=ab-a=0基本不等式注:是比较两个数大小的依据一:不等式的基本性质第一讲不等式和绝对值不等式比较法的基本步骤：1.作差(或作商)2.变形3.定号(与0比较或与1比较).例1：比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)=x2+3x+2-(x2+3x-18)=200，所以(x+1)(x+2)(x-3)(x+6)①、对称性：传递性：_________②、，a+c＞b+c③、a＞b，，那么ac＞bc；a＞b，，那么ac＜bc④、a＞b＞0，那么，ac＞bd⑤、ab0，那么anbn.（条件）⑥、a＞b＞0那么（条件）nnbaabbacacbba,Rcba,0c0c0dc2,nNn2,nNn（可加性）（可乘性）（乘法法则）（乘方性）（开方性）一:不等式的性质2例cbdadcba求证已知,0,0011,01,0,0,0:cddccdcddccddc证明,0,0,011cadaacd又①②由①②可得cbdacbda,0,0,01,0cbcacba又课堂练习:1.判断下列命题是否正确:(1)cabcba,()(2)bcacba()(3)22bcacba()(4)bdacdcba,()(5)bacbca22()(6)baba22()(7)22baba()(8)22baba()(9)dbcadcba0,0()2．设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，比较A，B的大小.×√××√××√×解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)=432(22)(1)xxx=32(1)(1)(1)xxxx=3(1)(21)xxx=2(1)(1)(221)xxxx=2211(1)2()022xx∴AB3.若a、b、x、y∈R，则是成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件()()0xyabxaybxaybC5.已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。4.对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：（1）若cab0，则（2）若ab,，则a0，b0。abcacb11ab（真命题）（真命题）f(3)的取值范围是[-1,20]二:基本不等式22如果a，b∈R，那么a+b≥2ab，当且仅当a=b时等定理1：号成立。aabbb几何解释（基本不等式）a+b如果a，b0，那么≥ab，2当且仅当a=b时等定理2：号成立。三:基本不等式算术平均数几何平均数几何解释OabDabACB两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。注：一正、二定、三等。例3求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大;(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短.定理：设,,xyz都是正数，则有⑴若xyS（定值），则当xy时，xy有最小值2.s⑵若xyp（定值），则当xy时，xy有最大值2.4p例:某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米210元,再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80元.(1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系式;(2)当为何值时S最小,并求出这个最小值.QDBCFAEHGPMN解:设AM=y米22200-x从而4xy+x=200y=4x22于是S=4200x+210×4xy+80×2y0x102例2．⑴已知302x,求函数(32)yxx的最大值.⑵求函数22(3)3xyxx的最小值.解⑴(重要不等式法)∵302x,∴0320xx且,∴(32)xx=12(32)2xx≤123222xx=324当且仅当34x时取等号.∴函数(32)yxx的最大值为324,当且仅当34x取得.解:⑵∵3x,∴30x∴2222(9)181826333xxyxxxx=182(3)123xx≥24当且仅当182(3)3xx即6x时取等号.∴函数22(3)3xyxx的最小值为24,且当6x时取得.例2．⑴已知302x,求函数(32)yxx的最大值.⑵求函数22(3)3xyxx的最小值.解：∵1x∴01x011x∴11xx=112111)1(21111xxxx当且仅当111xx即0x时11xx有最小值13、若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时11xx有最小值，最小值为几？1.yxx4、求函数的值域解:2121,0)1(xxxxx时当,1,,0)2(Rxxx时当2)1()(21xxxx21xx).,2[]2,(y1(3)821xxxx21、求函数y=的最小值；x-3、求函数y=的值域.作业47(3)3aaa3、求证其中三：三个正数的算术—几何平均不等式类比基本不等式得3+a+b+c如果a、b、c∈R，那么≥abc，3当且仅当a=b=c时，等定理3：号成立。，123n123nn123n123n对于n个a,a,a,a正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，a+a+a++a,即≥an当且仅当a=a=a==a时,推广：等号成立.32）若x+y+z=p（定值），p则当x=y=z时,xyz有最大值27,.z3设x,y都是正数，则有1）若xyz=s（定值），则当x=y=z时,x+y+z有定最小值3s理：注：一正、二定、三等。例1:如图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？ax2解：依题意有v=(a-2x)xa（0x)2211(15)(0)5yxxx例求函数的最值。235252(2)(2),2525120,20,552(2)545[].236752242.515675yxxxxxxxxxxyxxxxmax解：当且仅当，即时，y3max1141514(15)(),4431081.108xxxyxxxy下面的解法对吗？例２:201,(1).xyxx当时求函数的最大值解:,10x,01x.274,32,12maxyxxx时当274)3122(43xxx)1(224)1(2xxxxxy构造三个数相加等于定值.练习：2221614______(1)yxx、函数的最小值是8422(2)(02)yxxx、函数的最大值是A、0B、1C、D、（）27162732D的最小值是则、若yxxyRyx24,,32A、4B、C、6D、非上述答案343B2P1015},2.2bh2b课本第题已知a0,b0,且h=min{a,a求证：222222222222222220,0,2,112,,,220h=min{a,},0h=min{a,},12,.22abababababbabababbaabbbababbhaab证明：即a由于从而h