压电材料的变分原理

SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA压电材料的变分原理和有限元分析方法赵寿根SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA1前言压电材料由于其机电耦合特性，受到使用者的欢迎。当将压电材料应用到结构中时，由于结构形式的多样性、边界条件的多样性和外界激励环境的复杂性，能得到解析解的情形很少，因而大多数情况需要采用数值的方法来分析结构。变分原理是进行数值计算的基础，因而研究压电材料的变分原理为建立压电材料的有限元模型和方程提供了依据。SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA2基本方程压电材料具有力电耦合特性，根据连续弹性介质理论和电介质理论，基于线弹性、小变形假设，基本方程及条件如下。(1)运动方程iij,ijuf(2)电学方程fi,iD若不存在自由电荷则式子等于零SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA2.1本构方程(3)力学耦合方程kijkklijklijEdsEkijkklijklijEeCEE或(4)电学耦合方程jEdDijklikli或jEeDijklikliSchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA2.3几何方程(5)变形方程(6)电场方程j,iji,ijijuu21i,igradESchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA2.3边界条件(7)力学边界条件(8)电学边界条件ijijTn在Sσ上iiuu在Su上qnDii在Sq上V在Sv上SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA3力电耦合系统的能量泛函(1)动能dVuu21dVuu21Tiipviievpe(2)应变能dV21dV21Uiiviivpe(3)电势能dVDE21UmmvppSchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA(4)外力功viiviTdSTufdVuWe(5)外电荷功qsqqdSW符合说明：Ve、Vp和V=Ve+Vp分别为弹性材料体积、压电材料体积和总体积。SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA5系统广义泛函由Hamilton原理，系统广义泛函为：t1t2qTp0dtWWUUT将上面的本构方程、几何方程带入得到系统的能量泛函为：ssiiVViiijijViiqp0dsqdSuTdvdEDdvdvuuSchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA能量泛函写成矩阵形式有：qpppssTvvTTVVTTTVTdSdqdsTudVEEdVeEdvEedvCdvuu上式即为分析压电耦合结构、建立各种位移形式的运动微分方程的变分形式方程。SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA6有限元方法有限元分析，即有限元方法（冯康首次发现时称为基于变分原理的差分方法），是一种用于求解微分方程组或积分方程组数值解的数值技术.这一解法基于完全消除微分方程,即将微分方程转化为代数方程组(稳定情形);或将偏微分方程(组)改写为常微分方程(组)的逼近,这样可以用标准的数值技术(例如欧拉法,龙格-库塔方法等)求解.有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究.它的发展可以追溯到AlexanderHrennikoff(1941)和RichardCourant(1942)的工作.这些先驱者使用的方法具有很大的差异,但是他们具有共同的本质特征:利用网格离散化将一个连续区域转化为一族离散的子区域,通常叫做元.Hrennikoff的工作离散用类似于格子的网格离散区域;Courant的方法将区域分解为有限个三角形的子区域,用于求解来源于圆柱体转矩问题的二阶椭圆偏微分方程.Courant的贡献推动了有限元的发展,绘制了早期偏微分方程的研究结果.从有限元的基本方法派生出来的方法很多，则称为三维单元。如有限条法、边界元法、杂交元法、非协调元法和拟协调元法等，用以解决特殊的问题。SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA6.1本构方程压电材料的线性本构方程为：)3,2,1()6,,2,1(lESeDiEeSCjljklkljEijkEiki用矩阵形式表示为：ESeDEeSCSchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA6.2有限元列式(四面体单元为例)对于每一个单元，机械应变可以表示为：xvyuxwzuywzvzwyvxuSxyxzyzzyxeSchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA又位移u、v、w可以用单元节点位移和形函数表示：niiiuNu1niiivNv1niiiwNw1SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA从而可得：xvNyuNxwNzuNywNzvNzwNyvNxuNSniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiixyxzyzzyxe111111111SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA上式用矩阵形式表示为：eueuBSBu为包含形函数微分的矩阵：000000000xyxzyzzyxuNNNNNNNNNBSchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA对于每个单元的x、y、z方向的位移向量表示为：ieiiuuv同样对于每个单元，电场向量可以表示为为：zyxEEEEzyxeSchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA又，电势可以用单元节点电势和形函数表示：niiiN1从而：zNyNxNEEEEniiiniiiniiizyxe111SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA上式用矩阵形式表示为：eeBEBφ为包含形函数微分的矩阵：zyxNNNBSchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA由压电材料的虚功原理：由前面有：eeueeeueBuBeDBeuBCeTeeVTeeTeeVTeQudvDEFudvSSchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA又：将上两式代入虚功原理有：eTeVeTTeuTTeeTeVeTTueuTuTeQdvBBuBeBFudvBeBuBCBuTTeTeTuTeTeBEBuSSchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA对上面的式子进行化简，就可得到单元的有限元方程：式中：eeeeeeueueuuFuKKKKQdvBCBKuTvueuudvBeBKKTTvuTeueudvBBKTveSchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA对单元有限元方程进行组装可得压电材料的整体有限元方程：QFuKKKKuuuuSchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA7ANSYS中的压电分析压电分析只能用下列单元类型之一：(1)PLANE13,KEYOPT(1)=7，耦合场四边形板单元(2)SOLID5,KEYOPT(1)=0或3，耦合场六面体单元(3)SOLID98,KEYOPT(1)=0或3，耦合场四面体单元KEYOPT选项激活压电自由度：位移和电压。对于压电分析，必须激活位移和电压自由度，即对于SOLID98要选择DegreesofFreedom选项的值为UX,UY,UZ,VOLT。对于PLANE13要选择DegreesofFreedom选项的值为UX,UY,VOLT。对于SOLID5和SOLID98，KEYOPT(1)=3仅激活压电选项。SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA压电材料材料参数的输入介电常数是反映材料的介电性质，或极化性质的，通常用ε来表示。不同用途的压电陶瓷元器件对压电陶瓷的介电常数要求不同。例如，压电陶瓷扬声器等音频元件要求陶瓷的介电常数要大，而高频压电陶瓷元器件则要求材料的介电常数要小。压电陶瓷极化处理之前是各向同性的多晶体，这是沿1(x)、2(y)、3(z)方向的介电常数是相同的，即只有一个介电常数。经过极化处理以后，由于沿极化方向产生了剩余极化而成为各向异性的多晶体。此时，沿极化方向的介电性质就与其他两个方向的介电性质不同。设陶瓷的极化方向沿3方向，则有关系ε11=ε22≠ε33即经过极化后的压电陶瓷具有两个介电常数ε11和ε33SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BUAA介电系数矩阵(介电常数)用MP命令(MainMenuPreprocessorMaterialPropsMaterialModelsElectromagneticsRelativePermittivityOrthotropic)定义PERX、PERY和PERZ。这些常数分别表示的是介电系数矩阵[ε]s（上标“s”表示常数值是在常应变条件下计得到的）的对角分量ε11,ε22,ε33。压电陶瓷具有压电性，即施加应力时能产生额外的电荷。其所产生的电荷与施加的应力成比