第八节-多元函数的极值及其求法

本科高等数学1第八节多元函数的极值及其求法㈠本课的基本要求理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值的必要条件，了解二元函数极值的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值、最小值并会解决一些简单的应用问题㈡本课的重点、难点二元函数的极值及条件极值为本课的重点、其应用为难点㈢教学内容在管理科学、经济学和许多工程、科技问题中，常常需要求一个多元函数的最大值或最小值，它们统称为最值。通常我们称实际问题中出现的需要求其最值的函数为目标函数，该函数的自变量被称为决策变量。相应的问题在数学上可称为优化问题。在经济管理科学中非常重要的运筹学，主是就是讨论一些不同的数学优化问题的。数学应用于科学技术与工程等领域中，也常常体现为优化问题。本节我们只讨论与多元函数的最值有关的最简单的优化问题。一．多元函数的极值及最大值、最小值1．多元函数的极值引入定义：设z=f(x,y)在点),(000yxp的某个邻域内有定义，如果对于此邻域内任何异于),(000yxp的点p(x,y)，都有f(x,y)),(00yxf(或f(x,y)),(00yxf)成立，则称函数z=f(x,y)在点),(000yxp取得极大值（或极小值）),(00yxf，极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点),(00yx称为极值点。书上P.52.给出了三个例子，请同学们自己看。可据点函数将该定义推广到n元函数中去。定理1（极值存在的必要条件）设函数z=f(x,y)在点),(00yx的二个偏导数存在，若),(00yx是f(x,y)的极值点，则0),(,0),(0000yxfyxfyx证：∵点),(00yx是f(x,y)的极值点，若固定f(x,y)中的变量y令0yy，则z=),(00yxf是一个一元函数，它在点0x处有极值，由一元函数极值的必要条件知0),(00yxfx同理可证0),(00yxfy使0),(,0),(yxfyxfyx同时成立的点(x,y)称为函数的驻点。同理，也可将该定理推广到多元函数的情况。定理2（极值的充分条件）设z=f(x,y)在点),(000yxp的某个邻域内具有二阶，且点),(000yxp是驻点，若记本科高等数学2),(),,(),,(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx则⑴当02ACB时，点),(000yxp是极值点，且a.当A0（或C0）时，点),(000yxp是极大值点；b.当A0（或C0）时，点),(000yxp是极小值点；⑵当02ACB时，点),(000yxp不是极值点；⑶当02ACB时，点),(000yxp可能是极值点也可能不是极值点。证略求函数极值的步骤⑴先求偏导数yyxyxxyxfffff,,,,;⑵解方程组0),(0),(yxfyxfyx，求出驻点；⑶求出驻点处的),(),,(),,(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx的值及ACB2的符号，判定极值点并求出极值。例求)(32233yxyxz的极值点及极值。解：⑴求偏导数66,0,66,63,6322yzzxzyyzxxzyyxyxxyx⑵解方程组06306322yyzxxzyx得驻点(0,0)，（0,2），(2,0)，(2,2)⑶列表判定极值点驻点(x0,y0)ABC△符号结论(0,0)－60－6－极大值f(0,0)=0(2,0)60－6＋不是极值点(0,2)－606＋不是极值点(2,2)606－极小值f(2,2)=-8四．最大值及最小值（有界闭区域上二元函数）求法：将函数在所的所有驻点处的函数值与函数在区域的边界上的最大值和最小值相比较，其中最大者即为函数在闭区域上的最大值，反之为最小值。实际上，若知道函数在D内存在最大值（或最小值），又知函数在D内可微，全只有唯一的驻点，则该点处的函数值就是所求的最大值（或最小值）。这种根据问题的实际意义加以限制，简化函数最值求解过程的思想叫做实际推断原理，它是数学模型解决实际问题时的重要手段。例1．求xyxxyxz2)2(22222在圆域上的最大值和最小值。本科高等数学3解略。例2．在平面xy上求一点使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线的距离平方和为最小。分析：过)(00yx，作x+2y-16=0等的垂直线，解出交点，可求出点到直线的距离。解略。五．条件极值引入对自变量有附加约束条件的极值问题称为条件极值对自变量没有附加约束条件的极值问题称为无条件极值Lagranze乘数法──直接求条件极值的方法设点)(00yx，是函数z=f(x,y)⑴在条件0),(yx⑵下的极值点，则有0),(00yx⑶假定),(,00yxf在点的某个邻域内都有一阶连续偏导数，且0),(00yxy，则由⑵式确定的一个可导隐函数y=y(x)，且),(),(yxyxdxdyyx，故有⑷),(),(00000yxyxdxdyyxxx又把)(xyy代入⑴式，则得到一个自变量x的函数))(,(xyxfz因此根据多元复合函数的求导法则和一元函数取得极值的必要条件得⑸0),(),(000000xxyxxxdxdyyxfyxfdxdz把⑷式代入⑸式有⑹0),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfxyyx⑶、⑹就是⑴在⑵下的在点)(00yx，取得极值的必要条件。令),(),(0000yxyxfyy，即0),(),(0000yxyxfxx必要条件就变为⑺0),(0),(),(0),(),(0000000000yxyxyxfyxyxfyyxx⑺式的前两个方程说明点)(00yx，必需是函数),(),(),(yxyxfyxL的驻点，称),(yxL为拉格朗日函数，λ为拉格朗日乘数，这种求条件极值点)(00yx，的方法称为拉格朗日乘数法。步骤略，见P.111关键：1求什么；2在什么条件下；3建立L__函数；4给出方程组本科高等数学4扩展三元函数),,(zyxfu在条件0),,(zyx，见⑼式⑼0),,(000zyxzLyLxL⑽0),,,(0),,,(0000tzyxtzyxLLLLtzyx四元函数0),,,(tzyxfu在0),,,(0),,,(tzyxtzyx和，见⑽式。例1在球面1222zyx上求一点),,(zyx，使它到点(1,2,3)的距离最远。解：设点为),,(zyx∴有2222)3()2()1(ddzyxd与，等价，问题可化为求222)3()2()1(),,(zyxzyxf在01),,(222zyxzyx下的最大值点)1()3()2()1(222222zyxzyxL1431421411410102)3(202)2(202)1(2222zyxzyxzzLyyLxxLzyx得由计算得最远的点为)143,142,141(例2经济学中有Cobb-Douglas生产函数模型aayCxyxf1),(，式中x表示劳动力的数量，y表示资本数量（即y个单位资本），c与)10(aa是常数，由不同企业的具体情形决定。函数值表示生产量。现已知某生产商的Cobb-Douglas生产函数为4143100),(yxyxf，其中每个劳动力与每个单位资本的成本分别为150元及250元，该生产商的总预算是50000元，问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力及资本，以使生产量最高。50,250yx小结作业：P.61.1,4,,6,10