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第四章颗粒在流体中的运动教学大纲要求内容学时熟练掌握正确理解一般了解4.1液体的基本性质8颗粒在流体中的自由沉降与干扰沉降流体的一般性质流体中颗粒的相互作用、气泡在流体中的运动4.2颗粒在液体中的沉降4.3流体中颗粒的相互作用4.4气泡在流体中的运动4.5流体中气泡与颗粒的碰撞教学内容本章讨论液体的基本性质，在此基础上详细讲述颗粒在液体中的运动规律、颗粒之间的相互作用以及气泡在流体中的运动，为后面重力分选和表面物理分选的讲授打下理论基础。教学时间8学时。教学重点液体的基本性质、颗粒在流体中运动规律、气泡与颗粒间的相互作用。教学难点由于本章涉及到流体力学相关知识，因此如何让学生通过抽象的数学表达式来理解流体中颗粒运动规律。教学方法课堂教学为主，并适当开展课堂讨论，以加深学生对抽象表达式的理解。教学要求熟练掌握颗粒在流体中运动规律，正确理解流体的一般性质，一般了解流体中颗粒的相互作用、气泡在流体中的运动。教学参考书：文全主编.流体力学基础.第一册.北京:机械工业出版社,1986.孙玉波主编.重力选矿.北京:冶金工业出版社,1982.姚书典编.重选原理.北京:冶金工业出版社,1992.(美)怀特著.魏中磊等译.粘性流体动力学.北京:机械工业出版社,1982.张远君.王慧玉.张振鹏编译.两相流体动力学.北京:北京航空学院出版社,1987.胡为柏，浮选，北京：冶金工业出版社，1986.4.1流体的基本性质教学内容本节讨论液体的基本概念、流体的黏度和流体分类、流体的流态、雷诺数与阻力系数。主要内容包括：（1）流体的密度、悬浮体的体积分数φB、质量分数wB的概念，体积分数φB与质量分数wB的关系，阿基米德定律的内容。（2）剪切流、动力粘度、运动粘度的基本概念，牛顿内摩擦定律的基本内容，固体悬浮液的粘度的计算方法（爱因斯坦公式），流体悬浮体的粘度的计算方法。（3）流体的分类，牛顿流体与非牛顿流体之间的区别。（4）流体流态的分类，雷诺数的定义及其与流体流态之间的关系。教学时间1.5学时。本节重点流体的流态、雷诺数与阻力系数三者之间的关系。本节难点如何让学生准确理解一些抽象概念。教学方法课堂教学为主，并适当开展课堂讨论，以加深学生对抽象概念的理解。教学要求准确理解基本概念，以及流体的流态、雷诺数与阻力系数之间的关系。4.1.1一般概念颗粒、气泡或液滴分散在流体中形成的悬浮体是多相流体。1.流体的密度流体的密度是指单位体积内流体的质量，用ρ表示，单位为kg/m3。悬浮体的体积分数φB(旧称容积浓度λ)是指悬浮体中固体颗粒（或气泡、液滴）的体积占有率，它是无量纲数，数值上等于单位体积的悬浮体中固体颗粒（或气泡、液滴）占有的体积。质量分数wB(旧称重量浓度C)，是指悬浮体中固体颗粒（或液滴）的重量占有率，它也是无量纲数。若颗粒的密度用δ表示，体积分数φB与质量分数wB有下面的关系：悬浮体的密度是指单位体积内悬浮颗粒与分散介质的质量之和，也称为物理密度，用ρS表示。悬浮体的密度取决于分散介质的密度、颗粒的密度和颗粒的容积浓度，可以表示如下：2.阿基米德定律颗粒在液体中运动要受到重力、浮力和流体阻力的作用，重力G与浮力F总是同时出现的，为了简化，把重力与浮力的合力称为有效重力，用G0表示，对于球形颗粒有4.1.2流体的粘度1.剪切流与牛顿内摩擦定律上板的运动，必须对上板施加一个与内摩擦力大小相等、方向相反的力，才能维持这在两个平行平板之间充满流体，上板以等速u0运动，下板静止，两板间的流速分布为一直线，这种流动称为剪切流。对于大多数均质流体，单位面积的内摩擦力τ（切应力）与流体的剪切速率成正比，即上式称为牛顿内摩擦定律，系数μ称为动力粘度，单位为Pa·s。用运动粘度ν来表示流体的粘度，它是动力粘度μ与流体密度ρ之比，即运动粘度的单位为m2/s。流体粘度受温度影响较大。水的运动粘度与摄氏温度t的关系可用下面经验公式计算当温度为20℃时，水的运动粘度为1.007x10-6m2/s。气体的动力粘度与绝对温度T的关系可用下式表示对于空气，C=122,在0℃和1个大气压下，μ0=1.7×10-5Pa·s。2.固体悬浮液的粘度爱因斯坦从流体力学理论上导出低浓度悬浮体的粘度μs与体积分数φB的关系，即（4-8）爱因斯坦公式在高浓度下给出的粘度值过小，故只适用于体积分数φB0.02的低浓度悬浮体。3.流体悬浮体的粘度当两种互不相溶的流体混合时，构成液-气和液-液等两相体系，若连续相的粘度仍用μ表示，非连续相的粘度用μP表示，非连续相的体积分数用φB表示，则混合物的粘度可以表示为（4-12）当非连续相为气泡时，通常气体的粘度远远小于液体的粘度，上式可以简化为（4-13）4.1.3流体的分类1.流体的分类方法服从牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，不服从牛顿内摩擦定律的流体都称为非牛顿流体。流体可按下面方法分类：a）根据切应力τ对剪切速率du/dy的关系曲线特征分类：五种类型流体，即牛顿流体、宾汉流体、假塑性流体、胀塑性流体和屈服假塑性流体。b）根据切应力τ对时间ｔ的关系曲线特征分类：把流体分为触凝性流体、触融性流体和非触动性流体。c）根据流体的变形恢复特征分类：粘弹性流体和非粘弹性流体。2.牛顿流体与非牛顿流体本教材采用下面两种定义的粘度：μS表示流变曲线上指定点到原点的直线斜率，称为有效粘度；μD表示流变曲线上指定点的切线斜率，称为微分粘度。1)牛顿流体牛顿流体的有效粘度等于微分粘度，并且都是常数；2)非牛顿流体（1）宾汉（Bingham）流体（2）假塑性流体（3）胀塑性流体（4）屈服假塑性体4.1.4流体的流态、雷诺数与阻力系数颗粒在流体中运动时，由于流体存在粘性和惯性，会产生阻碍颗粒运动的阻力，这个阻力称为流体阻力。流体阻力包括粘性阻力和惯性阻力（又称压差阻力、形状阻力）两部分，它们对颗粒-流体相对速度的依赖关系是不同的，前者正比于速度的一次方，后者正比于速度的平方。当颗粒-流体相对速度很小时，速度的平方与速度的一次方相比是二阶小量，此时控制流体的运动的力主要是粘性力，流体质点沿流线有条不紊的运动，这种流态称为层流流态；反之，若颗粒-流体相对速度很大，速度的一次方与速度的平方相比是小量，此时控制流体的运动的力主要是惯性力，这时流体质点作杂乱无章的运动，这种流态称为紊流流态。在层流流态和紊流流态之间存在过渡流态，在过渡流态中，粘性力和惯性力共同控制流体的运动。为了定性反映惯性力与粘性力的相对大小，常用一个无量纲数来表示惯性力与粘性力的比值，这个无量纲数称为雷诺数，用Re表示。对于球形颗粒在流体中的运动，雷诺数定义为（4-19）V是颗粒-流体相对速度，d是颗粒直径，ρ和μ分别是流体的密度和粘度。若颗粒受到的阻力为R，阻力系数定义为阻力R与惯性力ρd2V2之比（4-20）阻力系数是无量纲数。流体阻力可以表示为（4-21）单个颗粒在流体中沉降达到沉降末速时，作用在颗粒上的流体阻力与颗粒在流体中的有效重力大小相等、方向相反，即（4-22）此时作用于颗粒的合力等于零，沉降速度不再变化，这个沉降速度称为颗粒的自由沉降末速；用V0表示，单位为m/s。当颗粒达到自由沉降末速时，阻力R可用有效重力G0替换。在沉降计算中有两个很有用的无量纲数Re2ψ和ψ/Re，当颗粒达到自由沉降末速时，利用(4-19)式、(4-20)式、(4-22)式和(4-3)式，可得出下列关系：（4-23）（4-24）(4-23)式可应用于已知颗粒直径求颗粒的自由沉降速度，(4-24)式可应用于已知颗粒的自由沉降速度反求颗粒的直径。4.2颗粒在流体中的沉降教学内容本节讨论颗粒在不同流态的流体中所受的阻力，以及自由沉降和干涉沉降中颗粒的沉降规律。主要内容包括：（1）颗粒在不同流态中所受阻力的计算公式及各自使用条件，李莱曲线所表达的意义。（2）自由沉降、自由沉降末速的概念，自由沉降过程中自由沉降末速的计算，颗粒粒径、密度、颗粒形状与自由沉降末速之间的关系。（3）干涉沉降定义，导致干涉效应产生三个原因，利亚申科经验公式以及n值的影响因素，n值与雷诺数的关系。教学时间2学时。本节重点颗粒在不同流态的流体中所受的阻力，以及自由沉降和干涉沉降中颗粒的沉降规律。本节难点自由沉降和干涉沉降中颗粒的沉降规律。教学方法课堂教学为主，并适当开展课堂讨论。教学要求熟练掌握颗粒在不同流态的流体中所受的阻力计算方法，以及自由沉降和干涉沉降中颗粒的沉降规律。4.2.1流体阻力1.斯托克斯阻力公式斯托克斯（Stokes）假定流体绕过球体的速度很缓慢，即呈层流态。球体阻力公式为（4-25）这就是有名的斯托克斯阻力公式。斯托克斯阻力公式适用于雷诺数小于1的范围，常把斯托克斯阻力公式适用的范围称为斯托克斯公式范围，阻力系数用ψS表示，斯托克斯公式范围的阻力系数公式可以表示为（4-26）2.牛顿雷廷智阻力公式牛顿（I.Newton，1687）首先研究了平板在介质中运动的阻力，他假设：a）介质为无粘性的理想流体；b）将流体看成是连续的质点流，这些质点与平板碰撞时没有任何能量损失，是完全的弹性碰撞。根据动量守恒定律，牛顿求出介质对于垂直于运动方向、面积为A的平板受到的流体阻力为：（4-27）雷廷智（P.R.Rittinger，1867）根据牛顿的平板阻力公式，导出了球体阻力公式为（4-28）此式表明球体在介质中运动时所受到的阻力，是同直径圆板所受阻力的一半。修正后的公式称为牛顿-雷廷智阻力公式，即（4-29）牛顿-雷廷智阻力公式的适用范围称为牛顿-雷廷智公式范围，该范围阻力系数近似为常数，用ψN表示，即（4-30）3.李莱曲线李莱（L.Ray1eigh，1893）在大量试验数据基础上绘制了阻力系数ψ对雷诺数Re的关系曲线，该曲线称为李莱曲线。斯托克斯公式为一直线，直线的斜率等于-1，大致适用于Re1的区间，当Re0.1时是很准确的；牛顿-雷廷智公式大致适用于103Re105的区间，曲线是近似水平的，其斜率近似为零，阻力系数并不是严格的常数，公式只是近似的。在1Re103的区间，曲线是由层流流态向紊流流态转变的过渡区，曲线的斜率从-1逐渐变到接近于零；阿连曾用直线近似表示该区间的曲线，得出的阻力公式称为阿连公式。4.通用阻力系数公式阿伯拉罕（F.F.Abraham,1970)运用边界层的概念分析球体的阻力，得出非常简洁与适用的阻力系数公式：（4-31）阿伯拉罕取ψt=0.115，k=4.52。康查(F.Concha)和阿尔曼德拉(E.R.Almendra,1978)取ψt=0.11，k=4.53。（4-31）式可作为Re5000的通用公式，与李莱曲线吻合相当好。还有许多其它形式的阻力系数经验公式，最有代表性的是下面形式的公式（4-32）（4-31）式只是上式的特例，通常取a=3π，有的公式不含右边第二项，即b=0。4.2.2自由沉降1.斯托克斯公式与牛顿-雷廷智公式颗粒在流体中沉降时，若不受周围颗粒或容器壁干扰，称为自由沉降。颗粒从静止状态沉降，在重力加速度作用下速度增加，随之而来而来的反方向阻力也增加。但颗粒的有效重力是一定的，当阻力与有效重力相等时，颗粒运动趋于平衡。此时沉降速度称为自由沉降速度，常用V0表示。对于微细的颗粒，流体阻力服从斯托克斯阻力公式，令式（4-25）等于式（4-3），既阻力与有效重力相等时，可求出自由沉降速度公式为（4-33）这就是斯托克斯公式，适用于Re＜1的范围。该公式表明，微细粒物料的沉降速度正比于颗粒直径的平方。对于较粗的颗粒，流体阻力服从牛顿-雷廷智阻力公式，令式（4-29）等于式（4-3），可求出自由沉降速度为（4-34）这就是牛顿-雷廷智公式，适用范围为Re＝103～105。该公式表明，粗粒物料的沉降速度正比于颗粒直径的平方根。2.自由沉降速度通用公式在矿物加工涉及的雷诺数范围一般不会超过5000，故可以把（4-31）式作为通用公式使用。利用(4-19)式和(4-31)式，可以得到雷诺数的解，即（4-35）通用的自由沉降速度公式可以表示为（4-36）若按康查等人的取值：ψt=0.11，k=4