15.5几何体的体积

(二期课改)复习引入一.回顾几种常见的平面多边形的面积公式及一些复杂多边形的面积的计算方法.二.由长方体(直四棱柱)的体积公式:V=S×h.对于一般的棱柱其体积的计算方法是怎样的呢?**问题的提出:新课讲解一.介绍(祖暅原理)的具体内容:*我国古代数学家祖暅在“开立圆术”一书中指出:(约在公元5世纪)“夫叠棊（棋）成立积,缘幂势既同,则积不容异”*现代文解释为:体积可以看成是由面积叠加而成,用一组平行的平面截两个空间图形,若在任意高处的截面面积都对应相等,则两个空间图形的体积必然相等.说明①上述论述称为祖暅原理,其正确性可以验证.②利用叠书法加以理解和感悟.(课文P37图解)祖暅原理的体积相等。应相等，则两空间图形等高处的截面面积都对空间图形，若在任意用一组平行平面截两个SShShSSh1.柱体的体积.一柱体和锥体的体积,VShSh柱体其中为底面面积为高新课讲解二.棱柱体积公式的推导:**由长方体的体积公式V=S×h.利用祖暅原理,结合图16-45推导出:(棱柱体积公式)--V棱柱=S×h.DABCEDABCEO新课讲解例题1三.棱柱体积的计算.已知三棱柱的底面为直角三角形,两直角边AC和BC的长分别为4cm和3cm,侧棱的长为10cm,求满足下列条件的三棱柱的体积.CBAABCAA(1)侧棱垂直于底面;AA(2)侧棱与底面所成的角为60°.AACCBABACBABACO例题1已知三棱柱的底面为直角三角形,两直角边AC和BC的长分别为4cm和3cm,侧棱的长为10cm,求满足下列条件的三棱柱的体积.CBAABCAA(1)侧棱垂直于底面;AA(2)侧棱与底面所成的角为60°.AACCBABA2116(cm2SBC（）解：AC）2V=S61060(cm)h例题1已知三棱柱的底面为直角三角形,两直角边AC和BC的长分别为4cm和3cm,侧棱的长为10cm,求满足下列条件的三棱柱的体积.CBAABCAA(1)侧棱垂直于底面;AA(2)侧棱与底面所成的角为60°.AACBABACO02AA60（）侧棱与底面所成的角为0AAH=600AH=AAsin60533V=SAH=653=303(cm)归纳总结①计算棱柱体积,关键是计算棱柱的底面积和棱柱的高.②为方便计算棱柱的底面积,可以把棱柱的底面多边形画成其平面图形.③注意区分棱柱的侧棱与棱柱的高之间的区别.**在直棱柱中:侧棱=高;**而在一般的斜棱柱中:侧棱与高并不相等,但侧棱与高加上侧棱在底面上的射影构成一个Rt△.例题讲解例题2已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=10cm,BC=12cm,顶点A1到A、B、C的距离都等于13cm,试求:三棱柱的体积.分析①解本题要注意在理解题意的基础上先作出相应的斜三棱柱底面三角形的平面图及斜三棱柱的准确的直观图,而后数形结合解题.②本题中计算棱柱的体积的关键在于计算棱柱的高,而要计算棱柱的高必须先计算出三棱柱的底面三角形的外接圆半径.ACBA1C1B1O略解*由已知易求底面积为48cm2.*垂足O是底面三角形ABC的外心.*由等腰三角形ABC的边长计算出其外接圆的半径OA:.425R*在Rt三角形A1BO中,计算出棱柱的高:.231431OA*计算出棱柱的体积为:.2313623143812213cmV课堂练习**课本(P38)练习15.5(1):1;2(补充题)(**)已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为8的正方形,侧棱AA1长为12,且A1到下底面的各顶点间的距离相等,试求:(1)四棱柱的体积;(2)四棱柱的侧面积.ABCDA1B1D1C1O**由已知可得:柱高A1O的垂足O其实就是正方形ABCD的中心.128例1有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？3/8.7cmg解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:10)210(14.3106124322V)(29563mm)(956.23cm所以螺帽的个数为252)956.28.7(10008.5（个）答：这堆螺帽大约有252个．(二期课改)新课讲解一.问题的提出:**棱锥的体积公式如何探求?(解决三棱锥的体积问题)**n边形**(n-2)个三角形*用(n-3)条共点的对角线分割成***n棱锥**(n-2)个三棱锥导出:(解决n棱锥的体积问题)DABCEP(*五棱锥P-ABCDE的体积*)(*三棱锥P-ABE的体积*)+(*三棱锥P-BCE的体积*)+(*三棱锥P-CDE的体积*)新课讲解**等底等高的三棱锥的体积相等.二.推导证明:已知:三棱锥O-ABC和P-DEF的底面面积都是S,高都是h,求证:V三棱锥O-ABC=V三棱锥P-DEF.证明:结合图15-36(课本P39).hhOCCOOBBOOAAO1hhCAACBCCBABBA1,且相似比是:CBAABC∽.)(21hh同理可得:,且相似比是:FEDDEF∽.)(21hh故可得：.2121ShhSS由祖暅原理得:VO-ABC=VP-DEF.新课讲解三.推导:三棱锥的体积公式:**证明思路:①利用三个三棱锥构造出一个三棱柱.其体积:V棱柱=S×h.②证明由三棱柱分割而成的三个三棱锥的体积相等.③三棱锥的体积等于与它等底等高的三棱柱的体积的三分子一..31hSV棱锥.31hSV三棱锥(阅读理解课本P40)ACDBACEDBFAEBFACDBFAEBFACBFACDB.31hSV三棱锥新课讲解四.计算棱锥和棱台的体积:例题2试求棱长都为a的正四棱锥的体积和表面积.ADCBPO**略解:*在Rt△PAO中:.22.aAOaPA.22aPO.62223132aaaV.)13(434222aaaS总结①解题关键是找到并计算出棱锥的高就是棱锥的顶点与底面正方形中心的连线.②棱锥的表面积包括侧面面积与底面面积.锥体的体积锥的体积相等定理：等底等高的三棱DEFPABCOVVhSDEFPABCO求证：高都是的底面积都是和已知三棱锥,,OABCPDEFABCDEFA1B1C1ACBA1C1ACBB1ACB1C1AA1B1C1ACBB1ACB1C1AV棱锥Sh13割补法棱锥的体积面体的体积。四个顶点连线构成的四求由它们互不相邻的为例：已知正方体的棱长,aABCD1A1B1C1D为正四面体易证：11ACDB1BAC1Daaha332362222)()(,高正四面体的边长为3332243313132aaShV)(的体积。求四棱锥，上的点，且，分别是侧棱，又的体积为例：正三棱柱APQC-BC1QAPCC1AA1QPA1B1C1-ABC,VR''ABC1A1B1CPQACBD作DABCACPQABC1面面面AAACQPBDACBDAC,ABCACQP面面面haVxAPah243,,,底面边长为设原三棱柱的高为axhxSACQP)(21aBDACQPB23的高四棱锥3232h31VaaVACQPB11111112,.ABCDABCDaBCADC、如图，已知正方体的棱长为求直线与平面的距离C1D1B1A1CDAB解：11//ABCD11//BCAD111//BCADC面111BCADC直线到平面的距离111.BADCh即点到平面的距离1BD连111BADCV三棱锥11232ADCSah33a111BCADC直线到平面的距离为33a111CBADV361a3613111ahSDCA圆锥的体积PDEFOSDEFhrShV23131圆锥求这个圆锥的体积。的半圆，开图是半径为例：已知圆锥的侧面展a,,hr高为设圆锥的底面半径为ar2为侧面展开图的扇形弧长2ararah23222432343131322aaahrVarh，求该圆锥的体积为和圆锥的轴的距离，的距离为到直线的顶点圆锥间的距离为，上两点例：设圆锥的底面圆周1AB3ABS2BA,OSABDSDODD,AB，连接中点取AB,SDSBSAAB,OABSDDSO底面，31SDOD,22OBSO,32222313122)(SOOBVR.34,32:33RVRV从而猜测半球?半球V331RV圆锥333RV圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比球的体积求圆锥内水平面的高。，，将球从圆锥内取出后时水面恰好和球面相切的铁球，这入一个半径为在容器内注入水，并放形，，它的轴截面是正三角例：一个倒圆锥形容器rPABxhPHPC水面高取出后水面高，设球未取出时，如图，作圆锥的轴截面,,EFOCHrPCr33EC,由题意可得，3233331rrrV)(圆锥32291303131ABxPHPHPHAHV)tan()(水，取出球后，水面下降到rxrrVV33315343V球圆锥水又练习：已知：长方体中，AB=4，BC=2，=3，求三棱锥的体积1BBCADB11解法分析：111111DCBAABCDCADBVV111BADAV11BADBV111BADCV11BADDV3241111DCBAABCDV=243242131111BADAV=48442411CADBV1111DCBAABCD1A1D1C1BABCDABCD1A1B1C1DE例1：如图，在边长为a的正方体中，点E为AB上的任意一点，求三棱锥的体积。1111DCBAABCD11DEBADASEBA1131aa22131361a解法分析：V=11DEBA11EBADV例3：已知三棱锥P—ABC中，,,PA=BC=a且ED=b求三棱锥的体积BCPAPAEDBCEDPABCEDPADCPADBABCPVVVCDSBDSPADPAD3131CBSPAD31aba2131ba261解法分析：abaBCEDBCPAPADBC平面垂面法BCPAPAEDBCEDPABCEDEBCAEBCPABCPVVVAESPESEBCEBC3131PASEBC31aba2131ba261或者：aba例3：已知三棱锥P—ABC中，,,PA=BC=a且ED=b求三棱锥的体积例5，求四棱锥A1-EBFD1的体积？BB1CDAC1D1A1EF易证四边形EBFD1为菱形，连结EF，则解法分析：EBFAEFDAEBFDAVVV11111EDAFEFDAVV1111aSEDA1131EBAFEBFAVV11aSEBA131或者：11112EFDAEBFDAVV例3、如图所示，已知三棱锥A—BCD的三个侧面互相垂直，且它们的面积分别为6、4、3，求此三棱锥的体积。ABCDABCD16,2bc1ab4,21ac3,221(abc)6438abc42311abc432V取适当的底和高